Funzione massimo e minimo di variabili aleatorie
Buonasera, avrei bisogno di un aiutino per svolgere il seguente esercizio :
Sia \(\displaystyle X \) una variabile distribuita uniformemente in \(\displaystyle [-2; 2] \) e sia \(\displaystyle Y \) la variabile aleatoria ottenuta trasformando la \(\displaystyle X \) mediante la funzione \(\displaystyle g(x) \) cosí definita:
Qui ho pensato di esplicitare questa funzione con un pò di logica ma non so se è corretto :
è corretto?
Per un procedimento un pò più rigoroso (e probabilmente migliore perchè può essere applicato in generale) ho trovato un piccolo teorema sul libro. Questo afferma che se \(\displaystyle Y = max(X_1,X_2,...,X_n) \) allora :
Però sinceramente non saprei applicarlo..qualcuno potrebbe farmi un esempio?
Sia \(\displaystyle X \) una variabile distribuita uniformemente in \(\displaystyle [-2; 2] \) e sia \(\displaystyle Y \) la variabile aleatoria ottenuta trasformando la \(\displaystyle X \) mediante la funzione \(\displaystyle g(x) \) cosí definita:
\(\displaystyle g(x) = max[x; sign(x)] \)
Qui ho pensato di esplicitare questa funzione con un pò di logica ma non so se è corretto :
\(\displaystyle g(x) = \begin{cases} -1, & \mbox{se } x \le -1 \\ x, & \mbox{se } -1 < x < 0 \cup x>1 \\ 0, &\mbox{se } x = 0 \\ 1, &\mbox{se } 0 < x \le 1 \end{cases} \)
è corretto?
Per un procedimento un pò più rigoroso (e probabilmente migliore perchè può essere applicato in generale) ho trovato un piccolo teorema sul libro. Questo afferma che se \(\displaystyle Y = max(X_1,X_2,...,X_n) \) allora :
\(\displaystyle F_Y(y) = \prod_{i=1}^N F_{x_i}(x) \)
Però sinceramente non saprei applicarlo..qualcuno potrebbe farmi un esempio?
Risposte
È corretto come hai fatto. Ora ti basta assegnare la probabilità agli intervalli di Y ed hai finito. Il teorema a cui ti riferisci non si può applicare qui. Questa è una semplice trasformazione di variabile. Ricordati che il risultato è una variabile aleatoria mista dato che in $ y=-1$ e $ y=1$ la variabile è discreta in quanto concentra una massa di probabilità positiva. Ho fatto i conti a mente ma viene sicuramente così:
$ f (y)=1/4$ se $ y=-1$
$ f (y)=1/4$ se $-1
$ f (y)=1/4$ se $y=1$
$ f (y)=1/4$ se $1
$ f (y)=0$ altrove.
Un esempio?
un altro bell'esempio? "Esercizio distribuzione di poisson" in questa pagina.
$ f (y)=1/4$ se $ y=-1$
$ f (y)=1/4$ se $-1
$ f (y)=1/4$ se $y=1$
$ f (y)=1/4$ se $1
$ f (y)=0$ altrove.
Un esempio?
un altro bell'esempio? "Esercizio distribuzione di poisson" in questa pagina.
Grazie mille 
Mi trovo con il tuo risultato, nei calcoli fatti da me ottengo :
che è la forma compatta della tua scrittura giusto?
Per quanto riguarda la distribuzione di Poisson non l'abbiamo fatta (solo le distribuzioni gaussiane) quindi non saprei come svolgere l'esercizio che hai proposto. In ogni caso sfogliando le dispense di esercizi d'esame del prof ho visto che tutti gli esercizi di questo genere (con massimi e minimi) sono simili a questo in cui bisogna arrivare alla definizione della funzione a tratti per ragionamento. Tuttavia se mi resta tempo prima dell'esame vedo se riesco a ritagliarmi un pò di tempo per approfondire la questione
Mi trovo con il tuo risultato, nei calcoli fatti da me ottengo :
\(\displaystyle f_Y(y) = \frac{1}{2} \delta(y+1) + \frac{1}{2} \delta(y-1) \)
che è la forma compatta della tua scrittura giusto?
Per quanto riguarda la distribuzione di Poisson non l'abbiamo fatta (solo le distribuzioni gaussiane) quindi non saprei come svolgere l'esercizio che hai proposto. In ogni caso sfogliando le dispense di esercizi d'esame del prof ho visto che tutti gli esercizi di questo genere (con massimi e minimi) sono simili a questo in cui bisogna arrivare alla definizione della funzione a tratti per ragionamento. Tuttavia se mi resta tempo prima dell'esame vedo se riesco a ritagliarmi un pò di tempo per approfondire la questione
No non va bene. L'alttezza è $1/4$ e devi aggiungere i due rettangoli $1/4rect (y+1/2) $ e $1/4rect (y-3/2) $
Dunque, la funzione densità di probabilità della \(\displaystyle X \) è :
graficando la funzione \(\displaystyle g(x) \) del primo post ottengo :
Applicando la definizione di funzione distribuzione di probabilità dobbiamo analizzare :
Procediamo per casi buttando un occhio a come sono definite la \(\displaystyle g(x) \) e la \(\displaystyle f_X(x) \):
per \(\displaystyle y<-1 \) non ci sono valori che verificano la precedente relazione quindi \(\displaystyle F_Y(y) = 0 \)
per \(\displaystyle -1 \le y < 1 \) le intersezioni si hanno nell'intervallo \(\displaystyle I_Y = (-\infty,0] \) quindi :
per \(\displaystyle 1 \le y < 2 \) le intersezioni si hanno nell'intervallo \(\displaystyle I_Y = (-\infty,y] \) quindi :
infine per \(\displaystyle y \ge 2 \) abbiamo che \(\displaystyle F_Y(y) = 1 \)
Riassumendo :
Che scritta in forma compatta diventa :
Adesso, per poter in seguito derivare esplicito il rettangolo come differenza di gradini, cioè :
Dopo un pò di passaggi e semplificazioni si giunge finalmente a :
Derivando otteniamo la densità di probabilità della \(\displaystyle Y \) :
Adesso però c'è un problema...volendo verificare se l'area sottesa da \(\displaystyle f_Y(y) \) è unitaria, mi trovo a dover calcolare un integrale in cui spunta fuori un gradino (e quindi diverge..) inoltre sviluppando termine a termine ottengo un \(\displaystyle +\infty - \infty \) che è ovviamente una forma indeterminata..se però calcolo tutto l'integrale su wolfram ottengo proprio \(\displaystyle 1 \). Come si fa?
[EDIT] Che scemo
la differenza di gradini è un rettangolo! quindi abbiamo che :
e verificando ottengo il risultato desiderato adesso è tutto corretto?
\(\displaystyle f_X(x) = \frac{1}{4} rect \left(\frac{x}{4}\right) \)
graficando la funzione \(\displaystyle g(x) \) del primo post ottengo :
[fcd="Variabile Y"][FIDOCAD]
LI 100 25 100 120 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 30 75 175 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 175 75 4 3 0 0 0 * X
TY 100 20 4 3 0 0 0 * Y
TY 75 75 4 3 0 0 0 * -1
TY 120 75 4 3 0 0 0 * 1
TY 95 55 4 3 0 0 0 * 1
TY 100 90 4 3 0 0 0 * -1
LI 30 95 80 95 2
LI 80 95 100 75 2
LI 120 60 155 25 2
LI 100 60 120 60 2
LI 100 75 100 60 2[/fcd]
LI 100 25 100 120 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 30 75 175 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 175 75 4 3 0 0 0 * X
TY 100 20 4 3 0 0 0 * Y
TY 75 75 4 3 0 0 0 * -1
TY 120 75 4 3 0 0 0 * 1
TY 95 55 4 3 0 0 0 * 1
TY 100 90 4 3 0 0 0 * -1
LI 30 95 80 95 2
LI 80 95 100 75 2
LI 120 60 155 25 2
LI 100 60 120 60 2
LI 100 75 100 60 2[/fcd]
Applicando la definizione di funzione distribuzione di probabilità dobbiamo analizzare :
\(\displaystyle F_Y(y) = \mathbb{P}\left(g(x) \le y \right) \)
Procediamo per casi buttando un occhio a come sono definite la \(\displaystyle g(x) \) e la \(\displaystyle f_X(x) \):
per \(\displaystyle y<-1 \) non ci sono valori che verificano la precedente relazione quindi \(\displaystyle F_Y(y) = 0 \) per \(\displaystyle -1 \le y < 1 \) le intersezioni si hanno nell'intervallo \(\displaystyle I_Y = (-\infty,0] \) quindi :\(\displaystyle F_Y(y) = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{4} rect \left(\frac{x}{4}\right) dx = \frac{1}{2} \)
per \(\displaystyle 1 \le y < 2 \) le intersezioni si hanno nell'intervallo \(\displaystyle I_Y = (-\infty,y] \) quindi :\(\displaystyle F_Y(y) = \int_{-\infty}^{y} \frac{1}{4} rect \left(\frac{x}{4}\right) dx = \frac{1}{4}(y+2) \)
infine per \(\displaystyle y \ge 2 \) abbiamo che \(\displaystyle F_Y(y) = 1 \)Riassumendo :
\(\displaystyle F_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \mbox{se } -1 \le y < 1 \\ \frac{1}{4}(y+2), & \mbox{se } 1 \le y < 2 \\ 1, &\mbox{se } y \ge 2 \\ 0, &\mbox{altrove} \end{cases} \)
Che scritta in forma compatta diventa :
\(\displaystyle F_Y(y) = \frac{1}{2} rect \left(\frac{y}{2}\right) + \frac{1}{4} (y+2) rect \left(y -\frac{3}{2}\right) + u(y-2) \)
Adesso, per poter in seguito derivare esplicito il rettangolo come differenza di gradini, cioè :
\(\displaystyle rect \left(\frac{y}{2}\right) = u(y+1) - u(y-1) \)
\(\displaystyle rect \left(y -\frac{3}{2}\right) = u(y-1) - u(y-2) \)
Dopo un pò di passaggi e semplificazioni si giunge finalmente a :
\(\displaystyle F_Y(y) = \frac{1}{2} u(y+1) + \frac{1}{4} y\;u(y-1) - \frac{1}{4} y\;u(y-2) + \frac{1}{2} u(y-2) \)
Derivando otteniamo la densità di probabilità della \(\displaystyle Y \) :
\(\displaystyle f_Y(y) = \frac{1}{2} \delta(y+1) + \frac{1}{4} u(y-1) + \frac{1}{4} y\;\delta(y-1) - \frac{1}{4} u(y-2) - \frac{1}{4} y\;\delta(y-2) + \frac{1}{2} \delta(y-2) \)
Adesso però c'è un problema...volendo verificare se l'area sottesa da \(\displaystyle f_Y(y) \) è unitaria, mi trovo a dover calcolare un integrale in cui spunta fuori un gradino (e quindi diverge..) inoltre sviluppando termine a termine ottengo un \(\displaystyle +\infty - \infty \) che è ovviamente una forma indeterminata..se però calcolo tutto l'integrale su wolfram ottengo proprio \(\displaystyle 1 \). Come si fa?
[EDIT] Che scemo
la differenza di gradini è un rettangolo! quindi abbiamo che :\(\displaystyle f_Y(y) = \frac{1}{2} \delta(y+1) + \frac{1}{4} rect \left(y-\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{4} y\;\delta(y-1) - \frac{1}{4} y\;\delta(y-2) + \frac{1}{2} \delta(y-2) \)
e verificando ottengo il risultato desiderato
adesso è tutto corretto?
$ f (y)=1/4delta (y+1)+1/4rect (y+1/2)+1/4delta (y-1)+1/4rect (y-3/2) $
Ci sono davvero molti errori.
La $ F (y) $ è sbagliata.
La $ f (y) $ non si può ottenere semplicemente derivando la F perché non è continua.
La variabile y è una variabile mista
Ci sono davvero molti errori.
La $ F (y) $ è sbagliata.
La $ f (y) $ non si può ottenere semplicemente derivando la F perché non è continua.
La variabile y è una variabile mista
Grazie per la risposta, il problema è che non riesco proprio ad individuare la via analitica da seguire..usando la via grafica ed un pò di ragionamento non ho nessun problema a trovare la tua stessa espressione. Infatti considerando il sistema :
Adesso per determinare la funzione densità \(\displaystyle f_Y(y) \) considero che :
tutti i valori \(\displaystyle x \in [-2,-1] \) vengono mappati dalla \(\displaystyle g(x) \) nel punto \(\displaystyle -1 \) e di conseguenza avrò un impulso centrato in \(\displaystyle -1 \) e altezza \(\displaystyle \frac{1}{4} \)
la stessa cosa per tutti gli \(\displaystyle x \in [0,1] \) che vengono mappati in \(\displaystyle 1 \) e di conseguenza un impulso centrato in \(\displaystyle 1 \) e sempre altezza \(\displaystyle \frac{1}{4} \)
infine per gli \(\displaystyle x \in [-1,0] \cup [1,2] \) ho lo stesso andamento della densità \(\displaystyle f_X(x) \), cioè dei rettangoli di altezza \(\displaystyle \frac{1}{4} \)
Quindi la \(\displaystyle f_Y(y) \) è (graficamente) fatta così:
Ed analiticamente corrisponde (come hai già detto più volte tu) a :
Il problema è la via analitica..
[fcd="Sistema"][FIDOCAD]
RV 85 55 125 75 0
LI 55 65 85 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 125 65 155 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 100 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL g(X)
TY 65 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL X
TY 145 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL Y[/fcd]
RV 85 55 125 75 0
LI 55 65 85 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 125 65 155 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 100 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL g(X)
TY 65 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL X
TY 145 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL Y[/fcd]
Adesso per determinare la funzione densità \(\displaystyle f_Y(y) \) considero che :
tutti i valori \(\displaystyle x \in [-2,-1] \) vengono mappati dalla \(\displaystyle g(x) \) nel punto \(\displaystyle -1 \) e di conseguenza avrò un impulso centrato in \(\displaystyle -1 \) e altezza \(\displaystyle \frac{1}{4} \) la stessa cosa per tutti gli \(\displaystyle x \in [0,1] \) che vengono mappati in \(\displaystyle 1 \) e di conseguenza un impulso centrato in \(\displaystyle 1 \) e sempre altezza \(\displaystyle \frac{1}{4} \) infine per gli \(\displaystyle x \in [-1,0] \cup [1,2] \) ho lo stesso andamento della densità \(\displaystyle f_X(x) \), cioè dei rettangoli di altezza \(\displaystyle \frac{1}{4} \)Quindi la \(\displaystyle f_Y(y) \) è (graficamente) fatta così:
[fcd="Funzione densita"][FIDOCAD]
LI 75 130 75 25 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 80 5 80 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 75 20 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL X
TY 5 70 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL fx(x)
LI 75 125 75 105 0
LI 75 105 55 105 0
LI 55 105 55 55 0
LI 55 55 75 55 0
LI 200 130 200 25 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 215 80 150 80 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 200 20 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL Y
TY 150 70 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL fy(y)
LI 200 125 200 105 0
TY 75 50 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2
TY 75 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1
TY 75 100 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -2
TY 75 90 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -1
TY 200 50 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2
TY 200 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1
TY 200 90 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -1
RV 110 70 130 85 0
TY 115 75 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL g(X)
LI 180 70 180 55 2
LI 200 95 180 95 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 200 70 180 70 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 180 95 180 80 2
LI 200 55 180 55 2
LI 180 80 200 80 2[/fcd]
LI 75 130 75 25 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 80 5 80 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 75 20 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL X
TY 5 70 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL fx(x)
LI 75 125 75 105 0
LI 75 105 55 105 0
LI 55 105 55 55 0
LI 55 55 75 55 0
LI 200 130 200 25 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 215 80 150 80 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 200 20 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL Y
TY 150 70 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL fy(y)
LI 200 125 200 105 0
TY 75 50 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2
TY 75 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1
TY 75 100 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -2
TY 75 90 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -1
TY 200 50 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2
TY 200 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1
TY 200 90 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -1
RV 110 70 130 85 0
TY 115 75 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL g(X)
LI 180 70 180 55 2
LI 200 95 180 95 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 200 70 180 70 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 180 95 180 80 2
LI 200 55 180 55 2
LI 180 80 200 80 2[/fcd]
Ed analiticamente corrisponde (come hai già detto più volte tu) a :
\(\displaystyle f_Y(y) = \frac{1}{4} rect \left(y+\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{4} rect \left(y-\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{4} \delta(y-1) + \frac{1}{4} \delta(y+1) \)
Il problema è la via analitica..
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