Funzione massa di probabilità congiunta
Buonasera a tutti.
Ho questo problema su cui mi sto scervellando da un po' senza grossi risultati..
"Siano date le variabili aleatorie \(\displaystyle X_{1} \), \(\displaystyle X_{2} \) indipendenti e con ugual distribuzione, tali che
\(\displaystyle P\left ( X_{1}=1 \right )=P\left ( X_{1}=-1 \right )=\frac{1}{2} \)
Determinare la densità di massa congiunta di \(\displaystyle \left ( X_{1}, X_{1}+X_{2} \right ) \)
Questa è l'unica cosa che mi è venuta in mente:
\(\displaystyle p(x_{1},x_{1}+x_{2})=p(x_{1})\cdot p(x_{1}+x_{2}) \),
che si può scrivere essendo \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{1} + X_{2} \) indipendenti.
Ovviamente \(\displaystyle p(x_{1},x_{1}+x_{2}) \) è la funzione di massa di probabilità congiunta, pari al prodotto delle due marginali.
Ora, essendo \(\displaystyle p(x_{1})=\frac{1}{2} \), posso scrivere che
\(\displaystyle p(x_{1},x_{1}+x_{2})=\frac{1}{2}\cdot p(x_{1}+x_{2}) \).
Quello che mi chiedo è: questo è tutto quello che si può dire della densità congiunta ?
Ho questo problema su cui mi sto scervellando da un po' senza grossi risultati..
"Siano date le variabili aleatorie \(\displaystyle X_{1} \), \(\displaystyle X_{2} \) indipendenti e con ugual distribuzione, tali che
\(\displaystyle P\left ( X_{1}=1 \right )=P\left ( X_{1}=-1 \right )=\frac{1}{2} \)
Determinare la densità di massa congiunta di \(\displaystyle \left ( X_{1}, X_{1}+X_{2} \right ) \)
Questa è l'unica cosa che mi è venuta in mente:
\(\displaystyle p(x_{1},x_{1}+x_{2})=p(x_{1})\cdot p(x_{1}+x_{2}) \),
che si può scrivere essendo \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{1} + X_{2} \) indipendenti.
Ovviamente \(\displaystyle p(x_{1},x_{1}+x_{2}) \) è la funzione di massa di probabilità congiunta, pari al prodotto delle due marginali.
Ora, essendo \(\displaystyle p(x_{1})=\frac{1}{2} \), posso scrivere che
\(\displaystyle p(x_{1},x_{1}+x_{2})=\frac{1}{2}\cdot p(x_{1}+x_{2}) \).
Quello che mi chiedo è: questo è tutto quello che si può dire della densità congiunta ?
Risposte
Uh... e che bisogno c'è di scervellarsi così...
Ragiona un pò su cosa voglia dire $P(X_1=1)=P(X_1=-1)=\frac{1}{2}$.
Se guardi bene... ti sta dando l'espressione ESATTA della "funzione massa" di $X_1$, infatti $X_1=1$ o $-1$, e come dicevano i latini, tertium non datur.
Ora devi solo ragionare un pò su cosa succede alla v.a. $X_1+X_2$. Tra l'altro, mi sembra quantomeno avventato dire che $X_1$ e $X_1+X_2$ siano indipendenti... Come fanno a esserlo se la seconda la costruisci a partire dalla prima??
Ti dò un aiuto... $X_1+X_2$ può assumere solo tre valori.
Ragiona un pò su cosa voglia dire $P(X_1=1)=P(X_1=-1)=\frac{1}{2}$.
Se guardi bene... ti sta dando l'espressione ESATTA della "funzione massa" di $X_1$, infatti $X_1=1$ o $-1$, e come dicevano i latini, tertium non datur.
Ora devi solo ragionare un pò su cosa succede alla v.a. $X_1+X_2$. Tra l'altro, mi sembra quantomeno avventato dire che $X_1$ e $X_1+X_2$ siano indipendenti... Come fanno a esserlo se la seconda la costruisci a partire dalla prima??
Ti dò un aiuto... $X_1+X_2$ può assumere solo tre valori.
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