Funzione generatrice di probabilità
Salve, sono una studentessa di ingegneria che sta preparando l'esame di calcolo delle probabilità da 6 CFU che ci sarà fra due settimane. Svolgendo un esercizio trovato in internet, ho riscontrato problemi nel calcolo della funzione generatrice di probabilità della v.a. $ N(Gamma) $ con N variabile aleatoria di poisson di parametro $ Gamma $ con $ Gamma $ v.a. di distribuzione gamma con parametri k, appartenente ai numeri naturali, e 1. $ Gamma $ e N sono indipendenti.
La soluzione pone:
$ sum _(r=0)^(oo)u^r P(N(Gamma)=r) =int _(0)^(oo)e^((u-1)s) P(Gammainds) $
Ma io avrei scritto:
$ int _(0)^(oo)e^(us) P(Gammainds) $
Dove sbaglio??
La soluzione pone:
$ sum _(r=0)^(oo)u^r P(N(Gamma)=r) =int _(0)^(oo)e^((u-1)s) P(Gammainds) $
Ma io avrei scritto:
$ int _(0)^(oo)e^(us) P(Gammainds) $
Dove sbaglio??
Risposte
Alla fine sono giunta a un procedimento, ma ho dubbi su come viene messo l'integrale alla fine.
Ecco il procedimento:
$ sum_(r=0)^(oo) u^r P(N(Gamma)=r)= sum_(r=0)^(oo)u^r (e^-s s^r/(r!))P(Gammainds)=
P(Gammainds)e^(-s)sum_(r=0)^(oo) ((us)^r)/(r!) $
Usando lo sviluppo di McLaurin dell'esponenziale:
$ P(Gammainds)e^-se^(us)= e^((u-1)s)P(Gammainds) $
Essendo il secondo fattore la funzione densità di gamma in ds, ottengo l'ntegrale tra 0 e infinito dell'esponenziale moltiplicato per la funzione densità in ds. E' corretto?
Ecco il procedimento:
$ sum_(r=0)^(oo) u^r P(N(Gamma)=r)= sum_(r=0)^(oo)u^r (e^-s s^r/(r!))P(Gammainds)=
P(Gammainds)e^(-s)sum_(r=0)^(oo) ((us)^r)/(r!) $
Usando lo sviluppo di McLaurin dell'esponenziale:
$ P(Gammainds)e^-se^(us)= e^((u-1)s)P(Gammainds) $
Essendo il secondo fattore la funzione densità di gamma in ds, ottengo l'ntegrale tra 0 e infinito dell'esponenziale moltiplicato per la funzione densità in ds. E' corretto?
Sì.
Grazie mille!
"Laura175314":
...con $ Gamma $ v.a. di distribuzione gamma con parametri k, appartenente ai numeri naturali, e 1.
Giusto una precisazione:
Non può essere $k in NN$ ma $k in NN^+$ (senza lo zero)
Inoltre la densità Gamma con parametro $k in NN^+$ si chiama più precisamente distribuzione di Erlang
"Laura175314":
$ sum_(r=0)^(oo) u^r P(N(Gamma)=r)= sum_(r=0)^(oo)u^r (e^-s s^r/(r!))P(Gammainds)$
Il ragionamento che fai è corretto ma in questa uguaglianza, formalmente, manca un integrale.
Lo ha scritto che doveva integrare ....anche perché la traccia le dava anche la soluzione
Si lo ho visto, ma quella uguaglianza non è corretta, non è una equazione (a parte che bisogna anche capire cosa sia $P( Gamma in ds)$ che scritto così non è molto significativo).
considerando che l'utente è appena iscritta e che il primo messaggio l'ho disapprovato perché non conforme[nota]traccia inserita solo con immagini e nessuna bozza di soluzione[/nota], mi pare che abbia fatto grossi passi in avanti...
ad ogni modo, per la precisione, la funzione generatrice di probabilità non è altro che una media. In questo caso viene
$E[e^((u-1)S)]=int_(0)^(oo)e^((u-1)s)1/((k-1)!)s^(k-1)e^(-s)ds=$
$=int_(0)^(oo)1/((k-1)!)s^(k-1)e^(-s(2-u))ds=1/(2-u)^kint_(0)^(oo)(2-u)^k/((k-1)!)s^(k-1)e^(-s(2-u))ds=1/(2-u)^k$
$AA{{: ( u<2 ),( k in NN^+ ) :}$
va meglio così?
@Laura: ti potrebbe interessare anche questa vecchia discussione
ad ogni modo, per la precisione, la funzione generatrice di probabilità non è altro che una media. In questo caso viene
$E[e^((u-1)S)]=int_(0)^(oo)e^((u-1)s)1/((k-1)!)s^(k-1)e^(-s)ds=$
$=int_(0)^(oo)1/((k-1)!)s^(k-1)e^(-s(2-u))ds=1/(2-u)^kint_(0)^(oo)(2-u)^k/((k-1)!)s^(k-1)e^(-s(2-u))ds=1/(2-u)^k$
$AA{{: ( u<2 ),( k in NN^+ ) :}$
va meglio così?
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