Funzione generatrice dei momenti
Ci sono un paio di cosette sulla suddetta funzione che vorrei provare. Intanto diamo la definizione:
Si dice funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria reale $X$ la funzione $\psi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\cup \{+infty\}$ definita da $\psi(t)=E[e^{tX}]$.
Dunque questa funzione (che è sempre positiva, no?) può assumere il valore $+\infty$ in qualche punto della retta reale (anche tutti tranne lo zero, in cui è invece sempre uguale a 1).
Si tratta di una funzione convessa e questo lo proverei osservando che $f(t)=e^{tx}$ è convessa per ogni $x$ e utilizzando la linearità dell'integrale.
Ora però dovrei provare che:
- l'insieme in cui $\psi$ è finita è un sottoinsieme convesso della retta reale;
a me verrebbe di dire che è necessariamente convesso, per definizione di funzione convessa...
- la $\psi$ è continua all'interno del suddetto sottoinsieme.
Si dice funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria reale $X$ la funzione $\psi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\cup \{+infty\}$ definita da $\psi(t)=E[e^{tX}]$.
Dunque questa funzione (che è sempre positiva, no?) può assumere il valore $+\infty$ in qualche punto della retta reale (anche tutti tranne lo zero, in cui è invece sempre uguale a 1).
Si tratta di una funzione convessa e questo lo proverei osservando che $f(t)=e^{tx}$ è convessa per ogni $x$ e utilizzando la linearità dell'integrale.
Ora però dovrei provare che:
- l'insieme in cui $\psi$ è finita è un sottoinsieme convesso della retta reale;
a me verrebbe di dire che è necessariamente convesso, per definizione di funzione convessa...
- la $\psi$ è continua all'interno del suddetto sottoinsieme.
Risposte
"retrocomputer":
- l'insieme in cui $\psi$ è finita è un sottoinsieme convesso della retta reale;
a me verrebbe di dire che è necessariamente convesso, per definizione di funzione convessa...
- la $\psi$ è continua all'interno del suddetto sottoinsieme.
per la prima parte non la fai a mano?
se dici che $A$ è l'insieme in cui $\psi$ è finita, allora devi mostrare che se $x,y\in A$, allora $\lambda x+(1-\lambda)y \in A$ con $\lambda\in (0,1)$ e questo non lo si fa a mano?
La seconda parte deriva da belle proprietà delle funzioni convesse
o no?
"fu^2":
se dici che $A$ è l'insieme in cui $\psi$ è finita, allora devi mostrare che se $x,y\in A$, allora $\lambda x+(1-\lambda)y \in A$ con $\lambda\in (0,1)$ e questo non lo si fa a mano?
Quando ho provato che è convessa, ho appunto preso $x$ e $y$ e ho calcolato
$\psi(\lambda x+(1-\lambda)y)=E[e^{(\lambda x+(1-\lambda)y)X}]\leq E[\lambda e^{xX}+(1-\lambda)e^{yX}]=E[\lambda e^{xX}]+E[(1-\lambda)e^{yX}]$
e questo è finito perché $x$ e $y$ sono nell'insieme di definizione, ok?
Ah, gli insiemi convessi di $\mathbb{R}$ sono tutti e soli gli intervalli di $\mathbb{R}$, giusto?
Azzarderei che l'insieme di definizione della $\psi$ è sempre un intorno di $0$ (a meno che non sia il solo zero), ma un intorno destro o sinistro, non necessariamente un intorno "completo"... Può essere?
"fu^2":
La seconda parte deriva da belle proprietà delle funzioni convesse
Boh!
A intuito direi di sì... Ci penso...
"retrocomputer":
[quote="fu^2"]
se dici che $A$ è l'insieme in cui $\psi$ è finita, allora devi mostrare che se $x,y\in A$, allora $\lambda x+(1-\lambda)y \in A$ con $\lambda\in (0,1)$ e questo non lo si fa a mano?
Quando ho provato che è convessa, ho appunto preso $x$ e $y$ e ho calcolato
$\psi(\lambda x+(1-\lambda)y)=E[e^{(\lambda x+(1-\lambda)y)X}]\leq E[\lambda e^{xX}+(1-\lambda)e^{yX}]=E[\lambda e^{xX}]+E[(1-\lambda)e^{yX}]$
e questo è finito perché $x$ e $y$ sono nell'insieme di definizione, ok?
Ah, gli insiemi convessi di $\mathbb{R}$ sono tutti e soli gli intervalli di $\mathbb{R}$, giusto?
Azzarderei che l'insieme di definizione della $\psi$ è sempre un intorno di $0$ (a meno che non sia il solo zero), ma un intorno destro o sinistro, non necessariamente un intorno "completo"... Può essere?
[/quote]
In sequenza la risposta è si , si intervalli connessi di $\mathbb{R}$, penso di si, ovviamente non c'è motivo per cui se $Ee^{tX}<\infty$ allora $Ee^{-tX}<\infty$.
"fu^2":
La seconda parte deriva da belle proprietà delle funzioni convesse
Boh!
Questo è un risultato base sulle funzioni convesse, lo puoi trovare qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_convessa
ma, sottolineo, questa proprietà vale per funzioni definite in maniera molto più generale, non solo di "analisi I".
Bene, grazie per le conferme!
E sì, la continuità delle funzioni convesse sembra effettivamente un risultato piuttosto famoso
E sì, la continuità delle funzioni convesse sembra effettivamente un risultato piuttosto famoso
Retro penso tu abbia un avater che mi sfancula le formule...può essere?
La continuità delle funzioni convesse vale se l'intervallo è aperto, se è chiuso non lo puoi dire ai suoi estremi.
Allora o dimostri che l'insieme dove la funzione è finita oltre che convesso è anche aperto (fatto che non so neanche se è vero...fammi sapere) o rinunci alla continuità su alcuni punti.
Vedi un pò.
La continuità delle funzioni convesse vale se l'intervallo è aperto, se è chiuso non lo puoi dire ai suoi estremi.
Allora o dimostri che l'insieme dove la funzione è finita oltre che convesso è anche aperto (fatto che non so neanche se è vero...fammi sapere) o rinunci alla continuità su alcuni punti.
Vedi un pò.
"DajeForte":
Retro penso tu abbia un avater che mi sfancula le formule...può essere?
In che senso? Non vedi bene le formule dei miei messaggi e solo dei miei?
Oh, magari qualcosa l'ho anche proprio scritto male, eh
"DajeForte":
La continuità delle funzioni convesse vale se l'intervallo è aperto, se è chiuso non lo puoi dire ai suoi estremi.
Allora o dimostri che l'insieme dove la funzione è finita oltre che convesso è anche aperto (fatto che non so neanche se è vero...fammi sapere) o rinunci alla continuità su alcuni punti.
Dico che la funzione è continua nella parte interna dell'intervallo di definizione e sono a posto
Non penso che l'insieme di definizione sia in generale aperto.
Quando apro il messaggio non scarica le formule (si vede il loro testo latex), poi appare una figura con un punto interrogativo sul tuo avatar e apre le formule.
Per quanto riguarda la continuità infatti non è che conta molto, se non per curiosità vedere se può essere chiuso l'insieme dove la fgm è finita.
Per quanto riguarda la continuità infatti non è che conta molto, se non per curiosità vedere se può essere chiuso l'insieme dove la fgm è finita.
"DajeForte":
Quando apro il messaggio non scarica le formule (si vede il loro testo latex), poi appare una figura con un punto interrogativo sul tuo avatar e apre le formule.
Potrebbe essere dovuto a qualche rallentamento del sito che contiene l'avatar. Io uso imageshack, come penso tanti altri, anche se vedo che ora va per la maggiore tinypic... E' meglio?
Restando in tema FGM, ho un altro dubbio: riguarda il collegamento tra l'esistenza di tutti i momenti della $X$ e l'insieme di definizione della $\psi_X$.
Il fatto che la $X$ abbia tutti i momenti n-esimi finiti non implica l'esistenza della FGM, mentre una condizione sufficiente di esistenza nell'intervallo $(-\epsilon,\epsilon)$ è che esista $M>0$ tale che per ogni $n$ valga la disuguaglianza
$E[|X|^n]\leq {Mn!}/{\epsilon^n}$.
Il mio dubbio sorge perché leggo magari qualcosa tipo "se $X$ ha tutti i momenti e vale la disuguaglianza qui sopra, allora esiste la FGM": ma la disuguaglianza non garantisce anche l'esistenza dei momenti? Cioè, non è superfluo supporre l'esistenza dei momenti quando ho già la disuguaglianza?
Il fatto che la $X$ abbia tutti i momenti n-esimi finiti non implica l'esistenza della FGM, mentre una condizione sufficiente di esistenza nell'intervallo $(-\epsilon,\epsilon)$ è che esista $M>0$ tale che per ogni $n$ valga la disuguaglianza
$E[|X|^n]\leq {Mn!}/{\epsilon^n}$.
Il mio dubbio sorge perché leggo magari qualcosa tipo "se $X$ ha tutti i momenti e vale la disuguaglianza qui sopra, allora esiste la FGM": ma la disuguaglianza non garantisce anche l'esistenza dei momenti? Cioè, non è superfluo supporre l'esistenza dei momenti quando ho già la disuguaglianza?
Be si ti basta quella disuguaglianza per concludere che i momenti sono finiti.
Mi pare anche abbastanza forte come condizione visto che si conclude immediatamente che $E[e^{tX}]= sum_n t^n (E[X^n])/(n!)$.
Mi pare anche abbastanza forte come condizione visto che si conclude immediatamente che $E[e^{tX}]= sum_n t^n (E[X^n])/(n!)$.
Grazie!
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