Funzione di ripartizione - v.c. continua a tratti

[BattleJanson]

Ho il seguente esercizio:

Sia X una v.c. continua con densità di probabilità:

$ F(x)= x*I(0,1)(x) + (2-x)*I[1,2)(x) $

Determinare la funzione di ripartizione.....ecc.....

Facendo l'integrale ero giunto a questo tipo di conclusione:

$ F(x)= 1/2*x^2*I(0,1)(x) + (2x-1/2*x^2-1)I[1,2)(x) $


La soluzione corretta dovrebbe essere la seguente:

$ F(x)= 3x^2-2x^3*I(0,1)(x) + I[1,+oo )(x) $

ma non riesco a capire il collegamento tra questa F(x) e la densità di probabilità data.
Ringrazio anticipatamente

[walter891]

viene anche a me il tuo risultato e mi sembra corretto, però attenzione a una cosa: una FDR è sempre definita su tutto l'asse reale e possiede certe proprietà, quindi devi specificare che vale $1$ per $x>=2$

[BattleJanson]

Grazie per il suggerimento, ma relativamente alla seconda Funzione di ripartizione (quella che dovrebbe essere corretta)
qualcuno sa darmi qualche indizio?
Grazie

[walter891]

probabilmente è un errore del libro perché quella funzione non vedo come possa essere corretta

[BattleJanson]

Purtroppo la fonte è sicura ...

la densità di probabilità viene cambiata in questa:
$ f(x)= 6(x-x^2)*I(0,1) $

Ma non riesco proprio a capire questo passaggio. Ho cercato anche di vedere il concetto di trasformata integrale ma non ne ho ricavato nulla.

[walter891]

magari hai perso qualche passaggio che trasforma la variabile in un'altra prima di calcolarne la Fdr

[BattleJanson]

"Sergio":
La fonte sarà anche sicura, ma quella scrittura è incompleta
Se fosse \(f(x)= 6(x-x^2)\cdot I_{(0,1)}(x)\)
sarebbe la densità di una variabile che ha densità non nulla solo in \((0,1)\) e non mi pare che fosse così per la densità che era stata data prima.

Si è come hai detto (errore mio nel trascrivere...sorry).
Il primo "mistero" è proprio questo (0,1).... io avevo provato ad ipotizzare che questa seconda densità fosse un'approssimazione della prima, ma temo di dire corbellerie

[BattleJanson]

Comunque tornando alla mia impostazione dell'esercizio, volevo fare altre due domande se possibile:

"BattleJanson":Ho il seguente esercizio:

Sia X una v.c. continua con densità di probabilità:
$ F(x)= x*I(0,1)(x) + (2-x)*I[1,2)(x) $
Determinare la funzione di ripartizione.....ecc.....

Facendo l'integrale ero giunto a questo tipo di conclusione:

$ F(x)= 1/2*x^2*I(0,1)(x) + (2x-1/2*x^2-1)I[1,2)(x) $

1) nella F(x) definita in $ [1,2) $ , ho messo -1 per fare in modo di avere il F(2)=1, puo' andar bene oppure è una forzatura?
2) Volendo calcolare E(X) e VAR(X), io ho calcolato le stesse nei due intervalli di definizione e poi ho sommato i risultati. E' corretta l'impostazione?

Grazie a tutti!