Funzione di ripartizione, valore atteso e varianza

[jejel1]

A partire dalla seguente funzione:
$f(x)= 6(x-x^2) I(0,1) (x)$

verificare che sia una funzione di densità per posta e calcolare la funzione di ripartizione, il valore atteso e la varianza.

per vedere che sia ben posta faccio:
$∫^1 6(x-x^2) dx= 6∫^1x-x^2 dx= 6* (x^2/2- x^3/3)= 1$

per trovare la funzione di ripartizione
$∫ 6(x-x^2) dx= 3x^2-2X^3$

valore atteso
$∫^1 x* [6*(x-x^2)] dx= 6∫^1 x^2-x^3 dx= 6* (x^3/3-x^4/4) = 6*(1/3-1/4)= 0.5$

il momento secondo
$E[X^2]= ∫^1 x^2* 6(x-x^2)$ dopo tutti i vari passaggi si arriva a $6*(1/4-1/5)= 0,3$

la varianza a questo punto si trova facilmente
$0,3-0.5^2= 0.05$

va bene lo svolgimento o bisogna sistemare qualcosa?? grazie in anticio

[hamming_burst]

ok confermo i conti. solo un piccola cosa, è da sistemare gli intervalli di esistenza inferiori; penso cmq che non gli hai scritto per ovvietà, ma è bene metterli.

per vedere che sia ben posta faccio:
$\int_0^1 6(x-x^2) dx = 1$

sottolineo che ben posto, vuol dire che la condizione di normalizzazione è valida.

per trovare la funzione di ripartizione
$∫_0^x 6(u-u^2) du= 3x^2-2x^3$

formalmente le $x$ sono differenti, una è la variabile di integrazione, l'altra di intervallo quindi sarebbe bene usare altra notazione es. con una sostituzione con $u$.

il resto basta ricordarsi il limite inferiore costante $0$.

[jejel1]

grazie mille, soprattutto per avermi detto della sostituzione!!