Funzione di ripartizione uniformemente continua
Le misure di probabilità diffuse hanno funzione di ripartizione continua, anzi, vale il se e solo se e si può considerare la definizione di probabilità diffusa (invece del fatto che si annulli su tutti i singoletti).
Bene, in realtà la funzione di ripartizione di una probabilità diffusa, sarebbe addirittura uniformemente continua!
E come dimostriamo ciò? 
Per esempio utilizzando il seguente risultato (forse conosciuto come teorema degli asintoti):
Se $f:[a,+\infty)\to RR$ è continua e risulta$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ (con $L\in RR$), allora $f$ è uniformemente continua in $[a,+\infty)$.
Questo si dimostra facendo uso del teorema di Heine e della definizione di limite, considerando i vari casi possibili.
Però mi domando se non esista una via "probabilistica" per dimostrarlo, passando per la probabilità e magari utilizzando il fatto che questa dia misura nulla ai singoletti, qualcosa tipo:
$|F(x')-F(x)|=|P\{X\leq x'\}-P\{X\leq x\}|=|P(\{X\leq x'\}\cap \{X\leq x\}^c)|=|P(\{X\leq x'\}\cap \{X> x\})|$....
ma senza riscrivere la dimostrazione del teorema degli asintoti...
Bene, in realtà la funzione di ripartizione di una probabilità diffusa, sarebbe addirittura uniformemente continua!
E come dimostriamo ciò? Per esempio utilizzando il seguente risultato (forse conosciuto come teorema degli asintoti):
Se $f:[a,+\infty)\to RR$ è continua e risulta$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ (con $L\in RR$), allora $f$ è uniformemente continua in $[a,+\infty)$.
Questo si dimostra facendo uso del teorema di Heine e della definizione di limite, considerando i vari casi possibili.
Però mi domando se non esista una via "probabilistica" per dimostrarlo, passando per la probabilità e magari utilizzando il fatto che questa dia misura nulla ai singoletti, qualcosa tipo:
$|F(x')-F(x)|=|P\{X\leq x'\}-P\{X\leq x\}|=|P(\{X\leq x'\}\cap \{X\leq x\}^c)|=|P(\{X\leq x'\}\cap \{X> x\})|$....
ma senza riscrivere la dimostrazione del teorema degli asintoti...
Risposte
Innanzitutto le ultime uguaglianze che hai scritto valgono se $x>=x'$.
$forall e>0 \quad exists d>0 \quad"tale che " \ \ 0<|x-y|
Se assumi $x>=y$ hai che $|F(x)-F(y)|=P(X in (y,x])$.
Una idea potrebbe essere una dimostrazione per assurdo, ovvero assumi F continua ma non uniformemente e vedi un po.
$forall e>0 \quad exists d>0 \quad"tale che " \ \ 0<|x-y|
Se assumi $x>=y$ hai che $|F(x)-F(y)|=P(X in (y,x])$.
Una idea potrebbe essere una dimostrazione per assurdo, ovvero assumi F continua ma non uniformemente e vedi un po.
"DajeForte":
Innanzitutto le ultime uguaglianze che hai scritto valgono se $x>=x'$.
Giusto, grazie.
Una idea potrebbe essere una dimostrazione per assurdo, ovvero assumi F continua ma non uniformemente e vedi un po.
Mmmm... Ci voglio provare... Mi spremerò le meningi per scrivere una condizione necessaria e sufficiente di continuità e non uniforme continuità... Se pongo che esistano $x_0$ e $x_1$ tali che per ogni $\epsilon$ esistano $\delta_0$ e $\delta_1$ distinti tali che valga
$|x-x_i|<\delta_i\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x_i)|<\epsilon$ per $i=0,1$
può andare?
Negare questa:
"DajeForte":
$forall e>0 \quad exists d>0 \quad"tale che " \ \ 0<|x-y|
significa
$exists e>0 " tale che " forall d>0, \quad exists x_d,y_d " con " 0<|x_d-y_d|=e$
Ovvero prova a vedere se questa condizione ti conduce (implica) a "esiste $x$ tale che $P(X=x)>0$, che è in contraddizione con la continuità puntuale di F.
Ho meditato un po' sulla possibilità di trovare una successione $(A_n)_{n\geq 1}$ decrescente di insiemi tale che $P_X(A_n)\geq e$ per ogni $n$ e tale che $\bigcap_{n\geq 1} A_n=\{x\}$ (singoletto)... Per sfruttare la continuità della probabilità (in questo caso della legge di $X$) per successioni decrescenti... Ma non vedo al momento una conclusione... To be continued
Te lo dico non so se questa strada porta ad un risultato perche' non sono andato avanti con i ragionamenti...
tieni presente che pero' quello che scrivi e' la stessa strada che avrei percorso io.
Ora se $A_n$ sono decrescenti il limite esiste e la sua probabilita' e' il limite delle probabilita'. Se $P(A_n)>=e$ per ogni n lo deve essere anche il suo limite, e di conseguenza deve non essere vuoto...
tieni presente che pero' quello che scrivi e' la stessa strada che avrei percorso io.
Ora se $A_n$ sono decrescenti il limite esiste e la sua probabilita' e' il limite delle probabilita'. Se $P(A_n)>=e$ per ogni n lo deve essere anche il suo limite, e di conseguenza deve non essere vuoto...
"DajeForte":
tieni presente che pero' quello che scrivi e' la stessa strada che avrei percorso io.
La cosa mi incoraggia
Ora se $A_n$ sono decrescenti il limite esiste e la sua probabilita' e' il limite delle probabilita'. Se $P(A_n)>=e$ per ogni n lo deve essere anche il suo limite, e di conseguenza deve non essere vuoto...
Esatto, si otterrebbe $e\leq \lim_{n\to +\infty}P(A_n)=P(\{x\})$ e quindi una probabilità non diffusa...
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