Funzione di ripartizione e funzione di probabilità
Salve a tutti! Ho un esercizio che contiene un quesito che mi solleva dei dubbi sul significato della notazione e della terminologia utilizzata in esso.
Il testo è questo:
Premetto che purtroppo sono stato poco bene il giorno in cui l'argomento è stato trattato a lezione, e quindi mi sono arrangiato a studiare la teoria con il materiale a disposizione.
Ho interpretato che quella chiamata "funzione di probabilità" è quella di solito chiamata densità di probabilità. La variabile casuale discreta $X$ in questo caso sarà data da $X={x_{1},x_{2}, ... , x_{8}}$, giusto?
Quindi la funzione di densità di probabilità sarà la derivata della funzione di ripartizione, stando sempre a quello che ho capito della parte teorica. Non riesco a capire però cosa dovrei derivare per trovare appunto il valore richiesto. Non ho nessun $x_{i}$ per cui la probabilità assume il valore $0,0961$. Sicuramente però il valore di $x$ che sto cercando si trova nel secondo intervallo di quelli descritti dalla funzione di ripartizione $F(X)$. Non riesco a capire come procedere proprio dal punto di vista matematico.
EDIT: In teoria dovrei arrivare a risolvere qualcosa tipo $F(x)'=f(x) \rightarrow F(x)'=0,0961$
Grazie mille per l'aiuto e le spiegazioni!
Il testo è questo:
Si ha una funzione di ripartizione così definita:
\begin{array}{ll}\
0 & x < 1.202 \\
0.0162 & 1.202 \le x < 2.317 \\
0.1123 & 2.317 \le x < 3.433 \\
0.3496 & 3.433 \le x < 4.548 \\
0.6621 & 4.548 \le x < 5.663 \\
0.8935 & 5.663 \le x < 6.778 \\
0.985 & 6.778 \le x < 7.893 \\
1 & 7.893 \le x \\ \end{array}
Dalla funzione di probabilità $P(x)$ determinare qual è il valore minimo di $x$ per cui $P(x)=0,0961$.
Premetto che purtroppo sono stato poco bene il giorno in cui l'argomento è stato trattato a lezione, e quindi mi sono arrangiato a studiare la teoria con il materiale a disposizione.
Ho interpretato che quella chiamata "funzione di probabilità" è quella di solito chiamata densità di probabilità. La variabile casuale discreta $X$ in questo caso sarà data da $X={x_{1},x_{2}, ... , x_{8}}$, giusto?
Quindi la funzione di densità di probabilità sarà la derivata della funzione di ripartizione, stando sempre a quello che ho capito della parte teorica. Non riesco a capire però cosa dovrei derivare per trovare appunto il valore richiesto. Non ho nessun $x_{i}$ per cui la probabilità assume il valore $0,0961$. Sicuramente però il valore di $x$ che sto cercando si trova nel secondo intervallo di quelli descritti dalla funzione di ripartizione $F(X)$. Non riesco a capire come procedere proprio dal punto di vista matematico.
EDIT: In teoria dovrei arrivare a risolvere qualcosa tipo $F(x)'=f(x) \rightarrow F(x)'=0,0961$
Grazie mille per l'aiuto e le spiegazioni!
Risposte
Dunque molto semplicemente (ma puoi trovare tutti i dettagli su qualunque testo)
In maniera corretta, la funzione di probabilità (pmf, probability mass function), indicata in genere con $p_X(x)$ (minuscolo) si usa per le variabili discrete mentre la funzione di densità di probabilità (pdf, probability density function), indicata con $f_X(x)$ si usa per funzioni continue. Esistono testi che definiscono anche la funzione di densità discreta, anche se è un po' un abuso di terminologia.....Infatti il termine di densità di probabilità discende dal fatto le leggi di probabilità continue sono a misura nulla, e quindi il concetto di probabilità è collegato ad un'area, ovvero alla probabilità di un intervallo....a questo punto, si definisce una densità di probabilità, data appunto dalla probabilità diviso l'ampiezza dell'intervallo.
La funzione di ripartizione (CDF, Cumulative Distribution Function) $F_X(x)=P(X<=x)$ è la somma delle probabilità nel caso discreto mentre è la funzione integrale $F_X(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$ nel caso continuo....
Per tornare al tuo esercizio, la CDF in questione è una funzione a gradini, ed il valore minimo di x per cui
$p(x)=0.0961$ è $x=2.317$ e lo puoi vedere subito dal grafico, essendo
$p(x_0)=P(x_0)-P(x_0^-)$
dove con $p$ minuscolo ho indicato la funzione di probabilità mentre con P maiuscolo la Funzione di ripartizione. Il tuo testo indica con P maiuscolo la funzione di probabilità ma mi pare che ciò che intenda sia questo
In maniera corretta, la funzione di probabilità (pmf, probability mass function), indicata in genere con $p_X(x)$ (minuscolo) si usa per le variabili discrete mentre la funzione di densità di probabilità (pdf, probability density function), indicata con $f_X(x)$ si usa per funzioni continue. Esistono testi che definiscono anche la funzione di densità discreta, anche se è un po' un abuso di terminologia.....Infatti il termine di densità di probabilità discende dal fatto le leggi di probabilità continue sono a misura nulla, e quindi il concetto di probabilità è collegato ad un'area, ovvero alla probabilità di un intervallo....a questo punto, si definisce una densità di probabilità, data appunto dalla probabilità diviso l'ampiezza dell'intervallo.
La funzione di ripartizione (CDF, Cumulative Distribution Function) $F_X(x)=P(X<=x)$ è la somma delle probabilità nel caso discreto mentre è la funzione integrale $F_X(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$ nel caso continuo....
Per tornare al tuo esercizio, la CDF in questione è una funzione a gradini, ed il valore minimo di x per cui
$p(x)=0.0961$ è $x=2.317$ e lo puoi vedere subito dal grafico, essendo
$p(x_0)=P(x_0)-P(x_0^-)$
dove con $p$ minuscolo ho indicato la funzione di probabilità mentre con P maiuscolo la Funzione di ripartizione. Il tuo testo indica con P maiuscolo la funzione di probabilità ma mi pare che ciò che intenda sia questo
Grazie mille, esaudiente come sempre! Sì, ho presente anche la "dimostrazione" per cui la probabilità dei singoletti reali è nulla, mentr si devono solo considerare intervalli per avere una probabilità che non sia 0. Quindi, in questo caso, dove la funzione come hai detto tu è discreta, cioè a gradoni, il valore minimo per avere una probabilità pari a $0,0961$ è appunto quel più alto valore dell'intervallo per cui è nota una probabilità inferiore ma il più possibile vicina a quella indicata, giusto? Questo perchè appunto la probabilità totale è data dalla somma delle probabilità nei singoli "punti", ovvero $x_{i}$ che in questo caso non sono ricavabili mediante la derivata proprio perché non si tratta di una funzione continua, ma è discreta e quindi bisogna "accontentarsi" del valore più alto dell'intervallo con la probabilità subito inferiore.
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