Funzione di ripartizione e di densità della coppia aleatoria

[philipcool]

Salve a tutti.

chiedo un opinone: se sto valutando una coppia di variabili aleatorie (X,Y) e ne posseggo la funzione di ripartizione congiunta F(x,y)=P(X<=x ^ Y<=y) come posso poi trovare a livello generale la funzione di densità congiunta (dando per scontato che esista)?

[fu^2]

se tu hai la funzione di ripartizione $F(x,y)=P(X<=<,Y<=y)$ allora, se assumiamo che la v.a. $(X,Y)$ ha densità continua, si ha che

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}[\int_{-\infty}^{y} f_{X,Y}(t,s)ds]dt$

Dunque...

[philipcool]

si beh...mi viene da dire che che per trovare la densità a partiore dalla fdr nel caso bidimensionale bisogna fare la derivatra seconda mista. nel caso n dimensionale la derivata n-esima mista di tutte le n variabili....è giusto?

[retrocomputer]

Dunque $f(x,y)={\partial^2 F(x,y)}/{\partial x\partial y}$, giusto?

E sull'esistenza cosa possiamo dire? Continuità della $F$ con esistenza (e continuità) delle (tutte?) derivate parziali prime e seconde?

[fu^2]

si così a naso direi che $F$ debba soddisfare almeno le hp del teorema di schwartz, per invertire le derivate.