Funzione di ripartizione e densità discreta di una variabile aleatoria

Fai una domanda Tutte le categorie
Magma1
Magma1
31 ott 2017, 15:45
Data una variabile aleatoria $X$, sia $a
Poiché ${X<=c}={X<=a} uu {X<=b} uu {X<=c}$, allora

$F(c):=P(X<=c)=P(X<=a)+P(X<=b)+P(X<=c)$


poiché i valori sono discreti si ha

$P(X<=c)=P(X=a)+P(X=b)+P(X=c)$


per definizione funzione densità di una variabile discreta

$=p(a)+p(b)+p(c)$


da cui

$F(c)= sum_(x<=c) p(x)$


È giusta come dimostrazione? :roll:

Il tutto è iniziato dal seguente esercizio

Supponiamo che il 15 per cento delle famiglie in una certa comunità non abbia bambini, che il 20 per cento ne abbia 1, il 35 per cento ne abbia 2 e il 30 per cento ne abbia 3; e supponiamo, inoltre, che in ogni famiglia, ogni figlio sia con uguale probabilità maschio o femmina in maniera indipendente.

L'esercizio consisteva nel far osservare che un uso più sofisticato della tabella dalle funzioni di massa individuali (o marginali), scoprendo ad esempio che la probabilità che vi sia almeno una bambina è pari a 0.625; chiedendo in che modo si è giunti a tale risultato.

Io, dopo aver posto $X=#$femmine e $Y=#$maschi, ho ricavo la funzione di massa di probabilità

$p(x_i, y_i)=P(X=x_i, Y=y_i)$


pertanto la probabilità richiesta l'ho trovata così

$P(0
Risposte
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
31 ott 2017, 14:57
"Magma":

$F(c):=P(X<=c)=P(X<=a)+P(X<=b)+P(X<=c)$



non mi pare proprio....

Ti viene

$F(c)=F(a)+F(b)+F(c)$

Quindi $F(a)+F(b)=0$
Magma1
Magma1
31 ott 2017, 15:08
"tommik":
$F(c)=F(a)+F(b)+F(c)$

Quindi $F(a)+F(b)=0$

Era questo che non tornava nemmeno a me, ho capito perché ho commesso l'errore; ora provo ad aggiustare la dimostrazione. :roll:
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
31 ott 2017, 15:34
Per sistemare la dimostrazione poco ci vuole.....basta partire dagli intervalli giusti all'inizio, ovvero con l'unione di intervalli disgiunti (aperto a sinistra e chiuso a destra)

ma per risolvere l'esercizio non ho capito come vorresti fare....ora ti mostro come farei io

Ecco una tabella riassuntiva



la probabilità di avere almeno una femmina (oppure almeno un maschio, poco importa) è

$0.2*1/2+0.35*3/4+0.3*7/8=0.625$

:-D
Magma1
Magma1
31 ott 2017, 16:32
"tommik":
basta partire dagli intervalli giusti all'inizio, aperto a sinistra e chiuso a destra....


Da $ {X<=c}={X<=a} uu {a
$ F(c):=P(X<=c)=P(X<=a)+P(a

quindi

$F(c)=p(a)+p(b)+p(c)=sum_(x<=c)p(x)$



"tommik":
ma per risolvere l'esercizio non ho capito come vorresti fare....ora ti mostro come farei io

Ecco una tabella riassuntiva



la probabilità di avere almeno una femmina (oppure almeno un maschio, poco importa) è

$ 0.2*1/2+0.35*3/4+0.3*7/8=0.625 $

:-D

Io ho ottenuto questa tabella simmetrica[nota]c'è un motivo teorico riguardo il perché della simmetria?[/nota]:



dove, ad esempio,

$p(0,2)=P(X=0,Y=2)=P(2$ figli, $2$ maschi$)=P(2$ figli$) P(2$ maschi $|2$ figli$)$ $=0.35 * 1/4=0.0875$


Inoltre l'esercizio faceva notare che la probilità di avere almeno una bambina è pari a $0.6250$: valore che si ricava dalla tabella sommando $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$ o equivalentemente $p_X(1)+p_X(2)+p_X(3)$.

Io però, volevo ricavarmi anche una formula "diretta" e per questo volevo riuscire a dimostrare $ F_X(c)= sum_(x<=c) p_X(x) $.

"tommik":

$ 0.2*1/2+0.35*3/4+0.3*7/8=0.625 $


Grazie per la dritta :smt023
Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.