Funzione di ripartizione di una trasformata
Buonasera a tutti, ho avuto alcune difficoltà a risolvere questo problema:
"In un sistema complesso, per ogni componente critico è previsto un componente di ricambio, che entra automaticamente in funzione quando si guasta il componente originario (così il sistema continua a funzionare).
Il sistema si interrompe quando anche il ricambio si guasta. Si assuma che il tempo X di durata del componente originario e quello Y del componente di ricambio siano stocasticamente indipendenti ed abbiano entrambi distirbuzione esponenziale di parametro $ lambda=3 $. Determinare la funzione di ripartizione FT della durata T = X + Y di funzionamento del sistema e la funzione di ripartizione FZ della proporzione di tempo $ Z= X / (X+Y) $ di funzionamento del componente originario rispetto a quello di durata del sistema."
Innanzitutto, le funzioni di densità di X e Y sono uguali e sono $ lambdae^(-lambdax) $ e $ lambdae^(-lambday) $.
Essendo indipendenti, il prodotto delle due densità fornisce la densità della congiunta: $ lambda^(2)e^(-lambday -lambdax) $
A questo punto sorgono i problemi:
FT si ricava imponendo P(T <= t) da cui P(X+Y <= t) e quindi P(Y <= -X +t)
Sul forum mi è stato consigliato di studiare la probabilità graficamente, e sapendo che sia x che y devono essere maggiori di 0, l'area che funge da base del solido di cui vogliamo calcolare il volume mediante un integrale doppio è un triangolo avente per lati l'asse x, l'asse y e la retta Y = -X +t (parallela alla bisettrice tra secondo e quarto quadrante e che interseca l'asse y nel punto (0,t)). Tuttavia non riesco a capire quali siano gli estremi di integrazione.
Stessa storia per FZ, in tal caso la probabilità sarebbe $ P(Y >= X(1- (1/t)) $ e quindi l'area da anlizzare sarebbe l'area compresa fra l'asse delle x e la retta $ Y = X(1- (1/t)) $, che passa per l'origine e risulta leggermente più inclinata rispetto alla bisettrice tra primo e terzo quadrante verso l'asse delle x. In tal caso io impongo che gli estremi di integrazione della x sono 0 e +infinito, mentre quelli della y sono 0 e $ X(1- (1/t)) $. Il risultato numerico però non torna.
Per completezza, le soluzioni sono $ FT = 1 - e ^(-3t) - 3t e^ (-3t) $ se t >0 e 0 altrimenti, e $ FZ = t $ se 01, 0 altrimenti.
Aiuto!
"In un sistema complesso, per ogni componente critico è previsto un componente di ricambio, che entra automaticamente in funzione quando si guasta il componente originario (così il sistema continua a funzionare).
Il sistema si interrompe quando anche il ricambio si guasta. Si assuma che il tempo X di durata del componente originario e quello Y del componente di ricambio siano stocasticamente indipendenti ed abbiano entrambi distirbuzione esponenziale di parametro $ lambda=3 $. Determinare la funzione di ripartizione FT della durata T = X + Y di funzionamento del sistema e la funzione di ripartizione FZ della proporzione di tempo $ Z= X / (X+Y) $ di funzionamento del componente originario rispetto a quello di durata del sistema."
Innanzitutto, le funzioni di densità di X e Y sono uguali e sono $ lambdae^(-lambdax) $ e $ lambdae^(-lambday) $.
Essendo indipendenti, il prodotto delle due densità fornisce la densità della congiunta: $ lambda^(2)e^(-lambday -lambdax) $
A questo punto sorgono i problemi:
FT si ricava imponendo P(T <= t) da cui P(X+Y <= t) e quindi P(Y <= -X +t)
Sul forum mi è stato consigliato di studiare la probabilità graficamente, e sapendo che sia x che y devono essere maggiori di 0, l'area che funge da base del solido di cui vogliamo calcolare il volume mediante un integrale doppio è un triangolo avente per lati l'asse x, l'asse y e la retta Y = -X +t (parallela alla bisettrice tra secondo e quarto quadrante e che interseca l'asse y nel punto (0,t)). Tuttavia non riesco a capire quali siano gli estremi di integrazione.
Stessa storia per FZ, in tal caso la probabilità sarebbe $ P(Y >= X(1- (1/t)) $ e quindi l'area da anlizzare sarebbe l'area compresa fra l'asse delle x e la retta $ Y = X(1- (1/t)) $, che passa per l'origine e risulta leggermente più inclinata rispetto alla bisettrice tra primo e terzo quadrante verso l'asse delle x. In tal caso io impongo che gli estremi di integrazione della x sono 0 e +infinito, mentre quelli della y sono 0 e $ X(1- (1/t)) $. Il risultato numerico però non torna.
Per completezza, le soluzioni sono $ FT = 1 - e ^(-3t) - 3t e^ (-3t) $ se t >0 e 0 altrimenti, e $ FZ = t $ se 0
Aiuto!
Risposte
E dove sta la difficoltà??
La distribuzione della somma la sai già senza fare alcun conto. È una $Gamma (2;3) $
(Oppure la puoi calcolare con la convoluzione)
L'altra $Z=x/(x+y) $ al solito modo...facendo l'integrale della congiunta $f (x,y) $ sull'evento di interesse $Z
Ps: ti hanno consigliato bene sul forum...sono stato io!!!
Dai ora sono in giro in moto...fra poco torno a casa e ti posto la soluzione..vedrai che è molto semplice
La distribuzione della somma la sai già senza fare alcun conto. È una $Gamma (2;3) $
(Oppure la puoi calcolare con la convoluzione)
L'altra $Z=x/(x+y) $ al solito modo...facendo l'integrale della congiunta $f (x,y) $ sull'evento di interesse $Z
Ps: ti hanno consigliato bene sul forum...sono stato io!!!
Dai ora sono in giro in moto...fra poco torno a casa e ti posto la soluzione..vedrai che è molto semplice
Allora:
per quanto riguarda il primo punto, mi dispiace ma la distribuzione gamma non l'abbiamo usata moltissimo e non sono molto bravo a utilizzarla purtroppo... Per quanto riguarda il secondo punto, ho capito il tuo ragionamento e credo proprio che sia identico al mio, tuttavia il calcolo non viene giusto
Tra l'altro io avevo pensato di utilizzare questo ragionamento anche per la FZ!
Comunque, si tommik, ho notato che ogni volta che scrivo sul forum mi rispondi sempre tu e ti ringrazio infinitamente, Mercoledì prossimo ho l'esame di probabilità e sto studiando molto (come spero tu abbia notato), il tuo aiuto è sicuramente gradito
per quanto riguarda il primo punto, mi dispiace ma la distribuzione gamma non l'abbiamo usata moltissimo e non sono molto bravo a utilizzarla purtroppo... Per quanto riguarda il secondo punto, ho capito il tuo ragionamento e credo proprio che sia identico al mio, tuttavia il calcolo non viene giusto
Tra l'altro io avevo pensato di utilizzare questo ragionamento anche per la FZ!
Comunque, si tommik, ho notato che ogni volta che scrivo sul forum mi rispondi sempre tu e ti ringrazio infinitamente, Mercoledì prossimo ho l'esame di probabilità e sto studiando molto (come spero tu abbia notato), il tuo aiuto è sicuramente gradito
eccoci qui...il problema come ti dicevo è semplicissimo.
Abbiamo due distribuzioni indipendenti
$f(x)=3e^(-3x)$
$f(y)=3e^(-3y)$
primo punto: calcolare la distribuzione $Z=X+Y$
Dato che la distribuzione esponenziale altro non è che una $Gamma(1;theta)$ per le proprietà della gamma
$Z=X+Y~Gamma(2;3)$ e quindi $f_Z =3^2ze^(-3z)$
$z>0$
se non avete fatto la gamma poco male....fai come ti ho sempre detto: grafico del dominio e integrazione della densità congiunta:
$F_(Z)(z)=int_(0)^(z)3e^(-3x)dxint_(0)^(z-x)3e^(-3y)dy=...=1-e^(-3z)-3ze^(-3z)$
che derivata dà
$f_Z=9ze^(-3z)$
come volevasi dimostrare.
Puoi arrivare al medesimo risultato anche utilizzando il prodotto di convoluzione fra le due variabili, molto semplicemente così:
$f_Z =int_(0)^(z)f_X(x)f_Y(z-x)dx=int_(0)^(z)3 e^(-3x)*3e^(-3(z-x))dx=...=9ze^(-3z)$
a te la scelta del metodo che ti piace di più.....
****************************************
L'altro caso, $Z=X/(X+Y)$
****************************************
cominciamo col determinare il dominio di Z. Notiamo che $z in (0;1)$
anche qui con il solito metodo
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X/(X+Y)<=z)=...=P(Y>(1-z)/z X)=$
$=int_(0)^(+oo)3e^(-3x)dxint_((1-z)/z X)^(+oo)3e^(-3y)dy=...=z$
Quindi $Z~U(0;1)$
qui ci sono i grafici che dovrebbero farti capire il tutto
fine
Abbiamo due distribuzioni indipendenti
$f(x)=3e^(-3x)$
$f(y)=3e^(-3y)$
primo punto: calcolare la distribuzione $Z=X+Y$
Dato che la distribuzione esponenziale altro non è che una $Gamma(1;theta)$ per le proprietà della gamma
$Z=X+Y~Gamma(2;3)$ e quindi $f_Z =3^2ze^(-3z)$
$z>0$
se non avete fatto la gamma poco male....fai come ti ho sempre detto: grafico del dominio e integrazione della densità congiunta:
$F_(Z)(z)=int_(0)^(z)3e^(-3x)dxint_(0)^(z-x)3e^(-3y)dy=...=1-e^(-3z)-3ze^(-3z)$
che derivata dà
$f_Z=9ze^(-3z)$
come volevasi dimostrare.
Puoi arrivare al medesimo risultato anche utilizzando il prodotto di convoluzione fra le due variabili, molto semplicemente così:
$f_Z =int_(0)^(z)f_X(x)f_Y(z-x)dx=int_(0)^(z)3 e^(-3x)*3e^(-3(z-x))dx=...=9ze^(-3z)$
a te la scelta del metodo che ti piace di più.....
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L'altro caso, $Z=X/(X+Y)$
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cominciamo col determinare il dominio di Z. Notiamo che $z in (0;1)$
anche qui con il solito metodo
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X/(X+Y)<=z)=...=P(Y>(1-z)/z X)=$
$=int_(0)^(+oo)3e^(-3x)dxint_((1-z)/z X)^(+oo)3e^(-3y)dy=...=z$
Quindi $Z~U(0;1)$
qui ci sono i grafici che dovrebbero farti capire il tutto
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
fine
Perfetto, esaustivo come sempre! Mi rassicura il fatto che ho "solo" sbagliato gli estremi di integrazione questo significa che un po' sto capendo queste benedette congiunte... Grazie mille ancora!
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