Funzione di ripartizione di Poisson

[Ale0010]

Buongiorno,
ho il seguente problema:

$ X_i~ Poisson (lambda) $ iid
A) calcolare la funzione di ripartizione esatta della media campionaria $ bar (X_n) $
B) calcolare la funzione di ripartizione approssimata di $ bar (X_n) $

Per quanto riguarda il punto B utilizzando il TLC ottengo che $ bar (X_n)~N (lambda, lambda/n) $

Per il punto A ho difficoltà:
so che $ sum(X_i) =Z~Poisson (nlambda) $
Quindi $ F_bar (X_n)(t)=F_Z (nt)=sum_(i = 0,\ldots,nt) (e^(-nlambda)(nlambda)^i)/(i!) $
Da qui nn so più andare avanti. C'è un modo o ho proprio impostato male l'esercizio?
Per il punto B, come trovo la funzione di ripartizione? (Con la funzione erf?)

Grazie mille!

[Lo_zio_Tom]

E' praticamente corretto. Devi solo definire il supporto.
per la proprietà di riproducibilità della poisson (che può essere facilmente verificata con le proprietà della FGM) si ha che se $X_(1),...,X_(n)$ sono tutte poisson iid $P(lambda)$:

$Y=SigmaX_(i)~ P(nlambda)$

quindi


$P(bar(X)<=a)=P(Y<=an)=sum_(k=0)^([an])(e^(-lambdan)(lambdan)^k)/(k !)$

dove $k=0,1/n,2/n,....$

e $[an]$ è l'intero più grande $<=an$

tutto qui

B) è la funzione integrale della densità che hai trovato tu $int_(-oo)^(x)f(t)dt$

[Ale0010]

Domanda perché $ k=0,1/n,2/n... $ e non $ k=0,n,2n,3n,... $ ??

[Lo_zio_Tom]

"Ale00":Domanda perché $ k=0,1/n,2/n... $ e non $ k=0,n,2n,3n,... $ ??

il supporto di ogni poisson è $0,1,2...$

la somma n poissoniane, a parte il parametro, ha sempre supporto $0,1,2,...$

la media di n poisson avrà come supporto lo stesso della somma diviso n

Oltretutto la variabile $bar(X)$ non è più distribuita come una poisson, evidentemente

[Ale0010]

Chiaro!
Grazie mille!!