Funzione di ripartizione

[stefano_89]

Ciao a tutti, ho un problema veloce da risolvere, forse dovuto all' ora..

Ho una variabile aleatoria $Y_n = min{X_1, ... , X_n}$, con $X$ che sono v. a. uniformi ed indipendenti nell' intervallo [0, n].
Devo trovare ripartizione e media di $Y_n$

Il mio metodo è di scrivere:
$F(Y_n) = P(Y_n < y) = P(X_1 < y, ... , X_n < y) = (y/n)^n$.

Le soluzioni invece sfruttano il complementare, cioè:
$F(Y_n) = 1 - P(Y_n > y) = 1 - (1 - y/n)^n$

Quindi non mi pare che ci siamo problemi, visto che il libro fà il complementare del complementare del mio risultato.
Poi si passa alla densità di probabilità che nel mio caso è: $(y/n)^(n - 1)$, mentre per il libro: $(1 - y/n)^(n - 1)$

Infine, per quanto riguarda la media, (e qui c'è il vero problema), io ho fatto: $\int_{0}^{n}y(y/n)^(n - 1)dy = 1/n^(n - 1)\int_{0}^{n}y^ndy = n^2/(n + 1)$
mentre il libro: $\int_{0}^{n}y(y/n)^(n - 1)dy = n^2\int_{0}^{1}x(1 - x)^(n - 1)dx = n/(n + 1$

Cosa non va in quello che ho fatto io ?
E poi non capisco bene cosa abbia fatto il libro nel secondo passaggio per trovare la media.

Grazie a tutti..

[Andrea2976]

Non è vero che $P(Y_n
Ad esempio $\min(X_1,...,X_n)y,...,X_n>y)$, analogamente per $X_2,X_3,...,X_n$, ma anche
se $(X_1y...,X_n>y)$ e così via.

Se passi al complementare $\min(X_1,...,X_n)>y$ allora dovrà essere sicuramente che $(X_1>y, X_2>y,...,X_n>y)$.

[stefano_89]

ah però, grazie mille..
in effetti scrivendo il primo passaggio in quel modo avevo dato un' interpretazione sbagliata al problema..

[guidosaccucci]

Salve a tutti,
non riesco a calcolare in maniera esatta la funzione di ripartizione di un numero aleatorio Y funzione di un altro numero aleatorio X di cui conosco la densità.
Per esempio
Dati $ X$ e $Y=1/X$
e data la funzione di densità di X
$f(x)={(3/2*x^2,se -1 Devo calcolare la f di ripartizione di Y che per chiarezza chiamo G. Io l'esercizio l'ho impostato così:

$G(y)=P(Y1/y)=1-P(X<1/y)=1-F(1/y)$
Fatto questo ho calcolato l'integrale
$\int_{-1}^{1/y} 3/2*x^2 dx$
Il risultato è $G(y)=1-F(1/y)=1-1/(2*y^3)-1/2=1/2-1/(2y^3)$
Oltre ad aver fatto un errore concettuale credo, non capisco entro quali estremi della variabile Y valga questa funzione.
Grazie mille in anticipo e scusate ma è la prima volta che uso MathML.

[guidosaccucci]

Scusate, volevo precisare che lì dove ho scritto "il risultato è G(y)...." intendevo il risultato dei miei calcoli , non quello esatto !!!

[DajeForte]

Ti volevo aiutare con una immagine però non sono riuscito a caricarla.
Non so se tu hai qualche confidenza con qualche software che ti riesca a fare un grafico.
In questo caso prova a farti dare (o meglio studiati la funzione che è semplice) $f(x)=1/x$ con dominio $(-1,1)$; ora valuta l'immagine e cerca di capire per quali $x$ $f(x)
Buon lavoro.

[guidosaccucci]

Allora,studiata la funzione $f(x)=1/x$ , con dominio $(-1,1)$,ho come immagine $[- \infty;-1]uu[1;infty]$ . Quindi per $Y$ dovrei aspettarmi una densità nulla tra -1 e 1 ? Comunque mi sembra che $f(x)1/y$ . Stò impazzendo. Comunque grazie per l'aiuto.

[DajeForte]

Si la $Y$ apperterrà quasi certamente a (-infinito -1) unione (1,+infinito) (scusa non so come si scrive)
Adesso distingui i due casi (cioè scegli un $y$ prima nell'uno e poi nell'altro) e calcolati la $P(Y

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[guidosaccucci]

Risolto!!! Domani metto la soluzione... ho sudato sette camicie ...

Tieni questo potrebbe esserti utile
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

Grazie ancora

[lavvo1877q]

Ciao a tutti , sono Riccardo e sono un novizio del forum .
Qualcuno riesce a dirmi come si dimostra che la funzione di ripartizione è monotona non decrescente ????
grazie

[itpareid]

$x \leq y \Rightarrow (X \leq x) \subset (X \leq y) \Rightarrow P(X \leq x) \leq P(X \leq y) \Rightarrow F(x) \leq F(y)$

[lavvo1877q]

grazie per la risposta , mi potresti dire a parola cosa c'è scritto , visto che la statistica non è propio il mio forte ??

[itpareid]

se mi ricordo bene: $X$ variabile aleatoria reale e $F : \mathbb{R} \mapsto [0,1]$
si parte da $x$ e $y$ poi si passa alla v.a. tramite gli eventi (uno è contenuto nell'altro), poi alle loro probabilità, e tramite la definizione di funzione di ripartizione si ricava l'ultimo passaggio

[dissonance]

Io lo dimostrerei applicando direttamente la definizione. Basta scrivere per bene ipotesi e tesi:

Ipotesi Sia $X$ una v.a. unidimensionale e $F_X$ la funzione di ripartizione, ovvero:

$F_X(x)=P(X<=x)$ per ogni $x\inRR$.

Tesi Per ogni $x<=y$, si ha $F_X(x)<=F_X(y)$.

Dimostrazione Fissiamo $x<=y$. Per definizione $F_X(x)=P(X<=x)$. Osserviamo che se si verifica l'evento ${X<=x}$ si verifica automaticamente anche l'evento ${X<=y}$ perché $x<=y$. Allora la probabilità $P(X<=x)$ è minore o uguale a $P(X<=y)$, ovvero

$F_X(x)=P(X<=x)<=P(X<=y)=F_X(y)$. /////

Questo è esattamente quanto scritto da itpareid.

[lavvo1877q]

Grazie mille è proprio quello che mi serviva !