Funzione di densità e ripartizione

[~Rose16]

Salve a tutti, ho un esercizio che dovrebbe essere piuttosto semplice da risolvere ma che proprio non mi torna! Iniziamo:

$ f(x)={(cx^3, 0
1) Determinare il valore di c per cui f sia una funzione di densità di probabilità.

Questo esercizio l'ho risolto facendo l'integrale e ponendolo uguale a uno:

$\int_0^1cx^3dx$ + $\int_1^2cdx$ =1

c=$4/5$ e fin qui ci siamo.

2) Scrivere esplicitamente la funzione di ripartizione Fx(t)

E qui iniziano i guai. Io so che per ricavare la funzione di ripartizione devo integrare quella di densità, ma secondo il prof la soluzione è questa:

$ f(x)={(0, t<=0),(1/5 t^4, 0=1):}$

Ora, questo com'è possibile? Cioè, integrando la funzione di densità, a me esce $x^4/5+4/5x$ e basta. Come faccio a passare a t e far uscire quel misterioso $-3/5$? Inoltre com'è possibile che la funzione possa valere due cose diverse nello stesso punto? t>=1 secondo me dovrebbe essere t>=2.

Ma andiamo oltre.

3) Calcolare la mediana.

Devo porre Fx(t)= $1/2$ e secondo il prof risulta = $11/8$ , ma nello specifico, cosa devo fare? Cioè, devo sostituire i valori degli estremi in t e risolvere il sistema? Ma in ogni caso non mi esce mai la soluzione del prof... come diavolo ci è arrivato?

Alla fine l'unica cosa che sono riuscita a fare è calcolare la media e la c, il resto proprio non lo capisco... qualcuno mi illumina?

[retrocomputer]

"~Rose":
E qui iniziano i guai. Io so che per ricavare la funzione di ripartizione devo integrare quella di densità, ma secondo il prof la soluzione è questa:

$ f(x)={(0, t<=0),(1/5 t^4, 0=1):}$

Ora, questo com'è possibile? Cioè, integrando la funzione di densità, a me esce $x^4/5+4/5x$ e basta. Come faccio a passare a t e far uscire quel misterioso $-3/5$?

Nel calcolo della funzione di ripartizione $P(X\leq t)$ bisogna distinguere i vari casi dove cambia la densità. Per esempio, se vuoi calcolare la funzione di ripartizione per $1 $\int_0^1 cx^3dx+\int_1^t c dx$
Ti torna?

Inoltre com'è possibile che la funzione possa valere due cose diverse nello stesso punto? t>=1 secondo me dovrebbe essere t>=2.

Su questo penso che abbia ragione tu.

3) Calcolare la mediana.

Devo porre Fx(t)= $1/2$ e secondo il prof risulta = $11/8$ , ma nello specifico, cosa devo fare? Cioè, devo sostituire i valori degli estremi in t e risolvere il sistema? Ma in ogni caso non mi esce mai la soluzione del prof... come diavolo ci è arrivato?

Io faccio così: so che la $F_X$ è non decrescente e da questo capisco se il valore $t$ per cui $F_X=1/2$ è compreso tra 0 e 1 oppure tra 1 e 2, calcolando $F_X(1)$. Se è maggiore di $1/2$ allora risolvo l'equazione $1/5 t^4=1/2$, altrimenti risolvo l'equazione $4/5 t-3/5=1/2$. Va bene?

[gaiapuffo]

puoi spiegare meglio la seconda parte nn ho capito come fai a trovarti quell altro intervallo

[gaiapuffo]

cioè il primo integrale ok poi quello che c'è sotto nn l ho proprio capito..puoi spiegarlo facile facile cioè per fare il procedimento a macchinetta

[gaiapuffo]

inoltre nel primo integrale viene 1/5 t come cavolo farebbe poi a venire 1/5 t^4

[gaiapuffo]

e nella seconda parte come cavolo hai fatto a trovare 4/5 t-3/5=1/2?

[~Rose16]

"retrocomputer":
Nel calcolo della funzione di ripartizione $P(X\leq t)$ bisogna distinguere i vari casi dove cambia la densità. Per esempio, se vuoi calcolare la funzione di ripartizione per $1 $\int_0^1 cx^3dx+\int_1^t c dx$
Ti torna?

Non mi torna, perché allora sarebbe più corretto fare:

$\int_0^t cx^3dx+\int_1^t c dx$

(altrimenti nel primo integrale la variabile x viene sostituita da 1 e non viene la t, rimane solo un numero!)

e risulta quindi:

$ c x^4/4$ fra 0 e t, poi per l'altro pezzo rimane $ ct$ calcolato fra 1 e t.

Però questo risulta:

$4/5t^4/4+4/5t-4/5$

e non $-3/5$ come al prof ç_ç Dove sbaglio? (ci terrei anche a sapere perché devo mettere t sugli estremi dell'integrale, capire perché faccio le cose mi aiuta a ricordarle!)

Per la mediana scusa ma non ho capito come fai a sapere dove si trova il valore $1/2$, puoi spiegarti meglio?

[retrocomputer]

"~Rose":
Non mi torna, perché allora sarebbe più corretto fare:

$\int_0^t cx^3dx+\int_1^t c dx$

(altrimenti nel primo integrale la variabile x viene sostituita da 1 e non viene la t, rimane solo un numero!)

Se il motivo è solo questo, non te ne devi preoccupare, intanto la $t$ è presente nel secondo integrale. In realtà credo che si debba un po' riguardare il calcolo degli integrali:

se devi calcolare l'integrale di una $f(x)$ tra $a$ e $b$ e sai che $a $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$. Ti torna fin qui?

Nel nostro caso $1

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[DamianFox]

Mi aggiungo anch'io alla conversazione...
Non riesco a capire perchè se voglio calcolare la funzione di ripartizione per $1 $\int_0^1 cx^3dx+\int_1^t c dx$

E la mediana la calcolo sapendo già la funzione di ripartizione?

[retrocomputer]

"DamianFox":
Non riesco a capire perchè se voglio calcolare la funzione di ripartizione per $1 $\int_0^1 cx^3dx+\int_1^t c dx$

Tu invece come la calcoleresti?

[~Rose16]

Comunque sono andata a chiedere all'esercitatore ed ha effettivamente detto che la correzione è sbagliata, che quel -3/5 è un -4/5 e che t>=2...

[DamianFox]

Farei così:
$\int_0^t cx^3dx$ per l'intervallo $0 $\int_1^t c dx$ per l'intervallo $1

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[retrocomputer]

"~Rose":Comunque sono andata a chiedere all'esercitatore ed ha effettivamente detto che la correzione è sbagliata, che quel -3/5 è un -4/5 e che t>=2...

Se te l'ha detto l'esercitatore, sarà sicuramente così

Mi sdubbia solo il fatto che, con il $-4/5$ al posto del $-3/5$, allora la funzione di ripartizione non risulta crescente come a regola dovrebbe: vedi come si comporta intorno al punto $1$? Da sinistra tenderebbe a $1/5$, mentre da destra tenderebbe a $0$. Invece con il valore $-3/5$ la funzione risulta (crescente e) continua in $1$ (mentre con il $-4/5$ no), cosa peraltro necessaria perché la $X$ ha densità...

Comunque, immagino che ti sia fatto spiegare anche il procedimento, no? Cosa ti ha detto?

[DajeForte]

@retrocomputer: concordo.

La funzione di ripartizione è quella scritta nel primo post.

[retrocomputer]

"DamianFox":Farei così:
$\int_0^t cx^3dx$ per l'intervallo $0 $\int_1^t c dx$ per l'intervallo $1

Il primo pezzo torna anche a me, ma il secondo no. La definizione di funzione di ripartizione è questa:

$F_X(t)=P(X\leq t)=\int_{-\infty}^t f(x)\ dx$

Nel nostro caso non si integra per le $x$ negative perché $f(x)=0$ per $x\leq 0$, quindi l'integrale diventa

$F_X(t)=P(X\leq t)=\int_0^t f(x)\ dx$

e se $1

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[~Rose16]

Anche l'esercitatore ha messo 1 all'estremo inferiore e t a quello superiore °_°

$\int_1^t f(x)\ dx$

però il perché sinceramente non me lo sono chiesto... mah. Probabilmente non ci hanno fatto caso oppure non gli interessa il resto, chi lo sa!

[kovalevskaya1]

Per definizione, la funzione di ripartizione è \( F\left(t\right)=\int_{-\infty}^{t}f\left(x\right)dx \). Nel nostro caso \[ F\left(t\right)=\begin{cases}
0 & t\leq0\\
\int_{0}^{t}cx^{3}dx & 0 \int_{0}^{1}cx^{3}dx+\int_{1}^{t}cdx & 1 \end{cases}=\begin{cases}
0 & t\leq0\\
\frac{c}{4}t^{4} & 0 \frac{c}{4}+c\left(t-1\right) & 1 \end{cases} \]
In particolare, essendo \( c=\frac{4}{5} \), \[ F\left(t\right)=\begin{cases}
0 & t\leq0\\
\frac{1}{5}t^{4} & 0 \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(t-1\right) & 1 \end{cases} \].
Per calcolare la mediana, come suggerito da retrocomputer, osserva che \( F\left(1\right)=\frac{1}{5}<\frac{1}{2} \). Ne consegue che la mediana è maggiore di 1 e si determina risolvendo l'equazione \( \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(t-1\right)=\frac{1}{2} \)

[Black27]

"kovalevskaya":Per definizione, la funzione di ripartizione è \( F\left(t\right)=\int_{-\infty}^{t}f\left(x\right)dx \). Nel nostro caso \[ F\left(t\right)=\begin{cases}
0 & t\leq0\\
\int_{0}^{t}cx^{3}dx & 0 \int_{0}^{1}cx^{3}dx+\int_{1}^{t}cdx & 1 \end{cases}=\begin{cases}
0 & t\leq0\\
\frac{c}{4}t^{4} & 0 \frac{c}{4}+c\left(t-1\right) & 1 \end{cases} \]
In particolare, essendo \( c=\frac{4}{5} \), \[ F\left(t\right)=\begin{cases}
0 & t\leq0\\
\frac{1}{5}t^{4} & 0 \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(t-1\right) & 1 \end{cases} \].
Per calcolare la mediana, come suggerito da retrocomputer, osserva che \( F\left(1\right)=\frac{1}{5}<\frac{1}{2} \). Ne consegue che la mediana è maggiore di 1 e si determina risolvendo l'equazione \( \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(t-1\right)=\frac{1}{2} \)

Ma quindi...Alla fine è corretto $-3/5$? Ha detto giusto il prof nella correzione allora, e l'esercitatore si è confuso? Non ci sto capendo più nulla, che confusione

Io personalmente avrei fatto come kovalevskaya per trovare la funzione di ripartizione.

Per la mediana invece? Basta risolvere semplicemente l'equazione o bisogna intergrarla nuovamente?

Edit: Quindi la mediana in questo caso è $11/8$ giusto?

[retrocomputer]

"Black27":
Ma quindi...Alla fine è corretto $-3/5$?

Credo proprio di sì.

Per la mediana invece? Basta risolvere semplicemente l'equazione o bisogna intergrarla nuovamente?

Edit: Quindi la mediana in questo caso è $11/8$ giusto?

Giusto. Basta risolvere l'equazione, ma devi scegliere prima quale equazione usare e la scegli sapendo che la $F$ è sempre non decrescente e valutandola nei punti dove cambia la funzione (vedi se è maggiore o minore di $1/2$: nel primo caso usi la prima funzione e nel secondo caso la seconda): in questo caso la $F$ cambia nel punto $1$.

[Black27]

"retrocomputer":[quote="Black27"]
Ma quindi...Alla fine è corretto $-3/5$?

Credo proprio di sì.

Per la mediana invece? Basta risolvere semplicemente l'equazione o bisogna intergrarla nuovamente?

Edit: Quindi la mediana in questo caso è $11/8$ giusto?

Giusto. Basta risolvere l'equazione, ma devi scegliere prima quale equazione usare e la scegli sapendo che la $F$ è sempre non decrescente e valutandola nei punti dove cambia la funzione (vedi se è maggiore o minore di $1/2$: nel primo caso usi la prima funzione e nel secondo caso la seconda): in questo caso la $F$ cambia nel punto $1$.[/quote]
Perfetto ti ringrazio