Funzione di densità di un vettore aleatorio
Salve a tutti!
Se ho una successione ${T_n}_n$ di variabili aleatorie e definisco la seguente successione di variabili aleatorie:
$S_1=T_1$
$S_2=T_2 − T_1$
$S_n=T_n − T_{n−1}$
Se la funzione di densità di probabilità del vettore aleatorio $T=(T_1,T_2,\ldots,T_n)$ è $f_T(t_1,t_2,\ldots,t_n)$ qualcuno mi sa spiegare con i passaggi perchè la funzione di densità di probabilità del vettore aleatorio $S=(S_1,S_2,\ldots,S_n)$ è $f_S(s_1,\ldots, s_n)=f_T(s_1,s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots+s_n)$
Grazie a tutti.
Se ho una successione ${T_n}_n$ di variabili aleatorie e definisco la seguente successione di variabili aleatorie:
$S_1=T_1$
$S_2=T_2 − T_1$
$S_n=T_n − T_{n−1}$
Se la funzione di densità di probabilità del vettore aleatorio $T=(T_1,T_2,\ldots,T_n)$ è $f_T(t_1,t_2,\ldots,t_n)$ qualcuno mi sa spiegare con i passaggi perchè la funzione di densità di probabilità del vettore aleatorio $S=(S_1,S_2,\ldots,S_n)$ è $f_S(s_1,\ldots, s_n)=f_T(s_1,s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots+s_n)$
Grazie a tutti.
Risposte
Ma scusa non è un semplice sostituazione di variabili?
questo passaggio:
non è mettere in funzione di $T$ la funzione di densità di $S$. Sono la stessa funzione mi pare, cambia solo il nome.
Perciò dovrebbe essere questo il passaggio, cioè notando:
\(S_1=T_1 \Longrightarrow T_1 = S_1\)
\(S_2 =T_2-T_1 \Longrightarrow T_2 = S_2 + S_1\)
\(...\)
\(S_n=T_n-T_{n-1} \Longrightarrow T_n=S_n + S_{n-1} + ... + S_2 + S_1\)
quindi:
$f_S(s_1,\ldots, s_n) = f_T(s_1,s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots+s_n) = f_T(t_1,\ldots, t_n) $
che ne dici?
questo passaggio:
$f_S(s_1,\ldots, s_n)=f_T(s_1,s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots+s_n)$
non è mettere in funzione di $T$ la funzione di densità di $S$. Sono la stessa funzione mi pare, cambia solo il nome.
Perciò dovrebbe essere questo il passaggio, cioè notando:
\(S_1=T_1 \Longrightarrow T_1 = S_1\)
\(S_2 =T_2-T_1 \Longrightarrow T_2 = S_2 + S_1\)
\(...\)
\(S_n=T_n-T_{n-1} \Longrightarrow T_n=S_n + S_{n-1} + ... + S_2 + S_1\)
quindi:
$f_S(s_1,\ldots, s_n) = f_T(s_1,s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots+s_n) = f_T(t_1,\ldots, t_n) $
che ne dici?
Si, hai ragione, dovrebbe essere così:
$f_S(s_1,\ldots, s_n)=f_T(s_1, s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots s_n)det J$
dove $J$ è lo Jacobiano del cambio di variabili che in questo caso coincide proprio con $1$.
Giusto?
Grazie mille.
$f_S(s_1,\ldots, s_n)=f_T(s_1, s_1+s_2,\ldots, s_1+\ldots s_n)det J$
dove $J$ è lo Jacobiano del cambio di variabili che in questo caso coincide proprio con $1$.
Giusto?
Grazie mille.
Ciao,
volevo farti notare che la mia era più un'osservazione che una dimostrazione dei passaggi, se vedi non c'è quasi nulla di formale, ho utilizzato un calcolo diretto...
Nel calcolo del cambio di variabili di una trasformazione/applicazione continua di v.a. continue sì, si utilizza l'inversa o det jacobiano (attenta/o che è al divisore...) e mi pare che anche nelle successioni di v.a. funzioni questo fatto. Se fosse un semplice vettore potrei anche andare sul sicuro ma in questo caso appena ho un attimo controllo meglio su quache libro, se interessa.
volevo farti notare che la mia era più un'osservazione che una dimostrazione dei passaggi, se vedi non c'è quasi nulla di formale, ho utilizzato un calcolo diretto...
Nel calcolo del cambio di variabili di una trasformazione/applicazione continua di v.a. continue sì, si utilizza l'inversa o det jacobiano (attenta/o che è al divisore...) e mi pare che anche nelle successioni di v.a. funzioni questo fatto. Se fosse un semplice vettore potrei anche andare sul sicuro ma in questo caso appena ho un attimo controllo meglio su quache libro, se interessa.
Ho avuto un po' di tempo oggi e ho cercato qualcosa.
Sarebbe interessante sapere cosa sia qualla successione. Io ho supposto fosse un processo (stocastico) perciò ho cercato tra le definizioni che li caratterizzano (es. catene di Markov ecc...).
Se quelle v.a sono indipendenti, una definizione che assomiglia alla successione $S$ sembra essere un processo ad incrementi indipendenti. E la proprietà di cambiamento di variabile, che accennavo sopra, sembra applicabile anche in questo contesto.
Perciò per risolvere il tuo esercizio ti linko una possibile soluzione od indizio, che è più esplicativo di mille parole:
- http://www.math.unipd.it/~vargiolu/AnaSto/Esercizi3.pdf (v. Esercizio 1.2)
spero ti sia utile, ho incontrato alcune definizoni che non conoscevo, mi è stato utile pure a me
Sarebbe interessante sapere cosa sia qualla successione. Io ho supposto fosse un processo (stocastico) perciò ho cercato tra le definizioni che li caratterizzano (es. catene di Markov ecc...).
Se quelle v.a sono indipendenti, una definizione che assomiglia alla successione $S$ sembra essere un processo ad incrementi indipendenti. E la proprietà di cambiamento di variabile, che accennavo sopra, sembra applicabile anche in questo contesto.
Perciò per risolvere il tuo esercizio ti linko una possibile soluzione od indizio, che è più esplicativo di mille parole:
- http://www.math.unipd.it/~vargiolu/AnaSto/Esercizi3.pdf (v. Esercizio 1.2)
spero ti sia utile, ho incontrato alcune definizoni che non conoscevo, mi è stato utile pure a me
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