Funzione di densità di probabilità e probabilità del singolo punto
Salve,
mi sto accingendo allo studio delle variabili aleatorie continue. Negli appunti che ho preso a lezione risulta che il professore ci abbia detto che la probabilità del singolo punto sia 0, infatti se si ritiene che ogni valore sia equiprobabile possiamo utilizzare la definizione classica di probabilità, per cui $P(x_0) = (N_a/infty) = 0$. Ciò risulta anche dal libro di testo, che dice letteralmente: "Poiché la probabilità, nel caso delle variabili aleatorie continue di assumere un determinato valore è 0, questo concetto non si può applicare direttamente [alla funzione di probabilità]".
Dall'altra parte, sulle slides realizzate da un altro professore (quello con cui aveva la co-docenza), risulta scritto quanto segue:
• Supponiamo di assegnare una probabilità piccola quanto si vuole, ma non nulla, ad ognuno dei punti di un insieme con
la cardinalità del continuo (es. l’intervallo [0,1] dei numeri reali)
• la somma delle probabilità sarebbe infinita e quindi non potrebbe soddisfare il requisito di essere pari a 1 per l’evento certo
• Soluzione: assegnare la probabilità agli intervalli
• Come? Con una funzione di densità di probabilità f ( )
Quindi se non ho misinterpretato qui si dice che la probabilità non dev'essere nulla per il singolo valore, ma piccola a piacere.
Inoltre, per la funzione di probabilità, la prima proprietà riportata dal libro di testo è:
• La funzione assume valori strettamente positivi per ciascun valore assumibile dalla variabile aleatoria e zero altrove.
Poi, per quanto riguarda la distribuzione di probabilità uniforme, consiglia di individuare la probabilità che singolo punto ricada in un intervallo di estremi a e b, con $a
Allora, non riesco a mettere insieme questi pezzi senza cadere in contraddizione, avevo solamente pensato che allora la probabilità descritta dalla funzione di densità di probabilità sia la probabilità che X ricada in un intervallo (eg. 1 litro, 1 metro ecc). Ho intuito bene? E le affermazioni dei due professori non sono contraddittorie?
Grazie!
mi sto accingendo allo studio delle variabili aleatorie continue. Negli appunti che ho preso a lezione risulta che il professore ci abbia detto che la probabilità del singolo punto sia 0, infatti se si ritiene che ogni valore sia equiprobabile possiamo utilizzare la definizione classica di probabilità, per cui $P(x_0) = (N_a/infty) = 0$. Ciò risulta anche dal libro di testo, che dice letteralmente: "Poiché la probabilità, nel caso delle variabili aleatorie continue di assumere un determinato valore è 0, questo concetto non si può applicare direttamente [alla funzione di probabilità]".
Dall'altra parte, sulle slides realizzate da un altro professore (quello con cui aveva la co-docenza), risulta scritto quanto segue:
• Supponiamo di assegnare una probabilità piccola quanto si vuole, ma non nulla, ad ognuno dei punti di un insieme con
la cardinalità del continuo (es. l’intervallo [0,1] dei numeri reali)
• la somma delle probabilità sarebbe infinita e quindi non potrebbe soddisfare il requisito di essere pari a 1 per l’evento certo
• Soluzione: assegnare la probabilità agli intervalli
• Come? Con una funzione di densità di probabilità f ( )
Quindi se non ho misinterpretato qui si dice che la probabilità non dev'essere nulla per il singolo valore, ma piccola a piacere.
Inoltre, per la funzione di probabilità, la prima proprietà riportata dal libro di testo è:
• La funzione assume valori strettamente positivi per ciascun valore assumibile dalla variabile aleatoria e zero altrove.
Poi, per quanto riguarda la distribuzione di probabilità uniforme, consiglia di individuare la probabilità che singolo punto ricada in un intervallo di estremi a e b, con $a
Allora, non riesco a mettere insieme questi pezzi senza cadere in contraddizione, avevo solamente pensato che allora la probabilità descritta dalla funzione di densità di probabilità sia la probabilità che X ricada in un intervallo (eg. 1 litro, 1 metro ecc). Ho intuito bene? E le affermazioni dei due professori non sono contraddittorie?
Grazie!
Risposte
Non ho molto tempo, per cui la mia risposta non sarà sicuramente esaustiva, ma come sai se hai una densità di probabilità associata alla variabile aleatoria assolutamente continua $X$ definita sulla solita terna, chiamiamola $f_X$, allora $\mathbb{P}(X \in A)$, dove $A \in \Omega$, con $Omega$ spazio degli eventi, si calcola con $ \int_{A} f_X dx$. Ora è evidente che se l'intervallo $A$ è un punto, allora gli estremi di integrazione coincidono e pertanto l'integrale è nullo.
Più in generale è sufficiente dire che un punto è un insieme di misura nulla, di più, tutti gli insiemi numerabili sono a misura nulla.
Per quanto riguarda la richiesta, sapendo che una V.A. distribuita uniformemente in $[a,b]$ ha densità pari a $ f_X(x) =1/(b-a) $
Perciò, se assumiamo $A \subset [a,b]$ (altrimenti l'integrale è nullo), allora la probabilità richiesta è $\mathbb{P}(X \in A)=int_A f_X(x) dx$. A titolo di esempio, sia $A=[c,d]$. Allora l'integrale risulta $int_{A} \mathbb{1_{A}(x)}/(b-a)=(d-c)/(b-a)$ ,con $\mathbb{1_{A}(x)}$ funzione indicatrice.
Questa cosa è una schifezza, e te lo dice uno studente. Per prima cosa non hai detto chi è $N_a$, e poi dividere per $infty$ così, come se fosse un numero, senza introdurre nè limiti nè altro mi sembra tanto una porcheria.
Più in generale è sufficiente dire che un punto è un insieme di misura nulla, di più, tutti gli insiemi numerabili sono a misura nulla.
Per quanto riguarda la richiesta, sapendo che una V.A. distribuita uniformemente in $[a,b]$ ha densità pari a $ f_X(x) =1/(b-a) $
Perciò, se assumiamo $A \subset [a,b]$ (altrimenti l'integrale è nullo), allora la probabilità richiesta è $\mathbb{P}(X \in A)=int_A f_X(x) dx$. A titolo di esempio, sia $A=[c,d]$. Allora l'integrale risulta $int_{A} \mathbb{1_{A}(x)}/(b-a)=(d-c)/(b-a)$ ,con $\mathbb{1_{A}(x)}$ funzione indicatrice.
"iTz_Ovah ":
Negli appunti che ho preso a lezione risulta che il professore ci abbia detto che la probabilità del singolo punto sia 0, infatti se si ritiene che ogni valore sia equiprobabile possiamo utilizzare la definizione classica di probabilità, per cui $P(x0)=(Na/∞)=0.$
Questa cosa è una schifezza, e te lo dice uno studente. Per prima cosa non hai detto chi è $N_a$, e poi dividere per $infty$ così, come se fosse un numero, senza introdurre nè limiti nè altro mi sembra tanto una porcheria.
"feddy":
Non ho molto tempo, per cui la mia risposta non sarà sicuramente esaustiva, ma come sai se hai una densità di probabilità associata alla variabile aleatoria assolutamente continua $X$ definita sulla solita terna, chiamiamola $f_X$, allora $\mathbb{P}(X \in A)$, dove $A \in \Omega$, con $Omega$ spazio degli eventi, si calcola con $ \int_{A} f_X dx$. Ora è evidente che se l'intervallo $A$ è un punto, allora gli estremi di integrazione coincidono e pertanto l'integrale è nullo.
Più in generale è sufficiente dire che un punto è un insieme di misura nulla, di più, tutti gli insiemi numerabili sono a misura nulla.
Per quanto riguarda la richiesta, sapendo che una V.A. distribuita uniformemente in $[a,b]$ ha densità pari a $ f_X(x) =1/(b-a) $
Perciò, se assumiamo $A \subset [a,b]$ (altrimenti l'integrale è nullo), allora la probabilità richiesta è $\mathbb{P}(X \in A)=int_A f_X(x) dx$. A titolo di esempio, sia $A=[c,d]$. Allora l'integrale risulta $int_{A} \mathbb{1_{A}(x)}/(b-a)=(d-c)/(b-a)$ ,con $\mathbb{1_{A}(x)}$ funzione indicatrice.
[quote="iTz_Ovah "]Negli appunti che ho preso a lezione risulta che il professore ci abbia detto che la probabilità del singolo punto sia 0, infatti se si ritiene che ogni valore sia equiprobabile possiamo utilizzare la definizione classica di probabilità, per cui $P(x0)=(Na/∞)=0.$
Questa cosa è una schifezza, e te lo dice uno studente. Per prima cosa non hai detto chi è $N_a$, e poi dividere per $infty$ così, come se fosse un numero, senza introdurre nè limiti nè altro mi sembra tanto una porcheria.[/quote]
Grazie mille per la risposta!
Per quanto riguarda gli appunti, non ho mai apprezzato il professore, pensa che non si son fatti neppure gli integrali!
Va beh, comunque adesso ho capito.
Ps: $N_a$ è da intendersi come il numero di volte che si verifica un evento A.
prego.
ma come si possono fare le variabili aleatorie continue senza gli integrali...
ma come si possono fare le variabili aleatorie continue senza gli integrali...
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