Funzione densità di probabilità di una trasformazione
ho dei dubbi in merito al seguente esercizio, mi aiutate??
Siano $X_1$ e $X_2$ due variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite (iid) con funzione densità di probabilità (pdf) $f_(T)(t)=te^(-t)$ per $t>=0$.
Determinare la funzione densità di probabilità di $Y=X_1+X_2$
1° dubbio
E' corretto dire quanto segue?
$f_(X_1)(x_1)=x_(1)e^(-x_1)$ per $x_1>=0$
$f_(X_2)(x_2)=x_(2)e^(-x_2)$ per $x_2>=0$
(non sapevo come scrivere che fosse tutto definito per valori positivi)
2° dubbio
Dalla teoria so che se $Z=X_1+X_2$ allora $Z$ sarà caratterizzata da (senza fare nessuna ipotesi su $X_1$ e $X_2$):
$F_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo) int_(-oo)^(z-x) f_(XY)(x,y)dxdy$
dalla quale si ottiene:
$f_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,z-x)dx$
E' possibile, dunque, applicare questo risultato al nostro caso ottenendo quanto segue?
$f_(Y)(y)=int_(0)^(+oo)f_(X_1)(x_1)f_(X_2)(y-x_1)dx_1$
Grazie
Siano $X_1$ e $X_2$ due variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite (iid) con funzione densità di probabilità (pdf) $f_(T)(t)=te^(-t)$ per $t>=0$.
Determinare la funzione densità di probabilità di $Y=X_1+X_2$
1° dubbio
E' corretto dire quanto segue?
$f_(X_1)(x_1)=x_(1)e^(-x_1)$ per $x_1>=0$
$f_(X_2)(x_2)=x_(2)e^(-x_2)$ per $x_2>=0$
(non sapevo come scrivere che fosse tutto definito per valori positivi)
2° dubbio
Dalla teoria so che se $Z=X_1+X_2$ allora $Z$ sarà caratterizzata da (senza fare nessuna ipotesi su $X_1$ e $X_2$):
$F_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo) int_(-oo)^(z-x) f_(XY)(x,y)dxdy$
dalla quale si ottiene:
$f_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo)f_(XY)(x,z-x)dx$
E' possibile, dunque, applicare questo risultato al nostro caso ottenendo quanto segue?
$f_(Y)(y)=int_(0)^(+oo)f_(X_1)(x_1)f_(X_2)(y-x_1)dx_1$
Grazie
Risposte
$f(t)=t e^(-t)$ è una distribuzione nota, trattasi di una distribuzione Gamma
$Gamma(n,theta)=theta^n/(Gamma(n))x^(n-1)e^(-xtheta)$
dove $Gamma(n)=int_(0)^(+oo)x^(n-1)e^(-x)dx$ è la funzione gamma di Eulero
Nel tuo caso hai
$Gamma_(t)(2,1)=t e^(-t)$
la somma di distribuzioni gamma iid è ancora una Gamma per la proprietà di riproducibilità, verificabile subito con le proprietà della fgm
quindi la distribuzione della somma è $Gamma(4,1)=x^3/6 e^(-x)$
$Gamma(n,theta)=theta^n/(Gamma(n))x^(n-1)e^(-xtheta)$
dove $Gamma(n)=int_(0)^(+oo)x^(n-1)e^(-x)dx$ è la funzione gamma di Eulero
Nel tuo caso hai
$Gamma_(t)(2,1)=t e^(-t)$
la somma di distribuzioni gamma iid è ancora una Gamma per la proprietà di riproducibilità, verificabile subito con le proprietà della fgm
quindi la distribuzione della somma è $Gamma(4,1)=x^3/6 e^(-x)$
Non sono oggetto del corso le distribuzioni gamma quindi non sapevo di questa proprietà 
Alternativamente posso svolgere come nel commento precedente?
Alternativamente posso svolgere come nel commento precedente?
sì è un prodotto di convoluzione...gli integrali che hai scritto sono per il caso generico....devi poi scrivere gli estremi giusti per il tuo esempio
è una proprietà delle funzioni esponenziali....quelle ci sono nel corso....
"vinci93":
Non sono oggetto del corso le distribuzioni gamma quindi non sapevo di questa proprietà
Alternativamente posso svolgere come nel commento precedente?
è una proprietà delle funzioni esponenziali....quelle ci sono nel corso....
Giuro che non ho letto su nessuna pagina del libro le "distribuzioni Gamma" 
A questo, però, penso di guardarle un po' 
Ritornando all'esercizio (lasciando da parte le formule generiche), non dovrebbe essere così?
$f_(Y)(y)=int_(0)^(+oo)f_(X_1)(x_1)f_(X_2)(y-x_1)dx_1-=int_(0)^(+oo) [x_(1)e^(-x_1)][(y-x_1)e^[-(y-x_1)]dx_1$
(dato che sono entrambe esponenziali e definite per valori positivi, l'integrazione parte da zero; data l'indipendenza, ho la fattorizzazione della pdf congiunta; dalla relazione della teoria, la seconda pdf non è valutata in y ma in $(y-x_1)$ )
Cosa ho sbagliato?
A questo, però, penso di guardarle un po' Ritornando all'esercizio (lasciando da parte le formule generiche), non dovrebbe essere così?
$f_(Y)(y)=int_(0)^(+oo)f_(X_1)(x_1)f_(X_2)(y-x_1)dx_1-=int_(0)^(+oo) [x_(1)e^(-x_1)][(y-x_1)e^[-(y-x_1)]dx_1$
(dato che sono entrambe esponenziali e definite per valori positivi, l'integrazione parte da zero; data l'indipendenza, ho la fattorizzazione della pdf congiunta; dalla relazione della teoria, la seconda pdf non è valutata in y ma in $(y-x_1)$ )
Cosa ho sbagliato?
Io imposterei l'integrale doppio così, partendo dalla $F(z)$
$F(z)=P(Z
Poi, una volta calcolata la funzione di distribuzione la derivo e trovo la densità. Così va bene di sicuro, basta vedere il dominio...poi vedi tu, sicuramente esistono anche altre strade
....ma non ho voglia di fare tutti i conti, soprattutto per un esercizio che si risolve in un passaggio usando la funzione generatrice dei momenti....quella ce l'avete in programma?
Ps: sulle trasformazioni di variabili ho svolto e commentato almeno 100 esercizi in questa stanza....usa la funzione cerca...e buon lavoro
$F(z)=P(Z
Poi, una volta calcolata la funzione di distribuzione la derivo e trovo la densità. Così va bene di sicuro, basta vedere il dominio...poi vedi tu, sicuramente esistono anche altre strade
....ma non ho voglia di fare tutti i conti, soprattutto per un esercizio che si risolve in un passaggio usando la funzione generatrice dei momenti....quella ce l'avete in programma?
Ps: sulle trasformazioni di variabili ho svolto e commentato almeno 100 esercizi in questa stanza....usa la funzione cerca...e buon lavoro
"vinci93":
Giuro che non ho letto su nessuna pagina del libro le "distribuzioni Gamma"
mi sembra una buona idea....possibile che non ci siano....anche la distribuzione esponenziale negativa e la $chi^2$ sono distribuzioni gamma
Stesso discorso per la Gaussiana....se devi fare la somma di due Gaussiane mica vorrai fare il prodotto di convoluzione.....
Quindi, nel caso generico, se ho la trasformazione $Z=X+Y$ la funzione densità di probabilità è data dal prodotto di convoluzione delle due densità.
Nel caso di distribuzioni Gamma, però, vale quanto è valido per le distruzioni normali (in cui la somma di due variabili gaussiane genera ancora una gaussiana con media e varianza date rispettivamente dalla somma delle due medie/varianze): corretto?
(molto piu' immediata la risoluzione con la distribuzione nota)
Nel caso di distribuzioni Gamma, però, vale quanto è valido per le distruzioni normali (in cui la somma di due variabili gaussiane genera ancora una gaussiana con media e varianza date rispettivamente dalla somma delle due medie/varianze): corretto?
(molto piu' immediata la risoluzione con la distribuzione nota
)
l'argomento è leggermente più articolato ma non tanto diverso da come lo hai intuito. La proprietà di riproducibilità, ovvero la proprietà che somma di variabili indipendenti abbia ancora la stessa distribuzione delle variabili "addendi" vale per
- Gaussiana
- Gamma (e quindi anche Esponenziale negativa e Chi-quadro)
- Poisson
ma bisogna fare un minimo di attenzione sui parametri ed i risultati si derivano immediatamente dalle proprieta della funzione generatrice dei momenti (FGM)
E' infatti noto che, per variabili indipendenti
(1)
nel tuo caso, la FGM delle singole variabili iid è la seguente: $M_(x)(t)=(1/(1-t))^2$
quindi applicando la proprietà (1) ottieni che la FGM della somma è $M_(Y)(t)=(1/(1-t))^4$
e quindi si riconosce subito che quella è la FGM di una Gamma con parametri $(4;1)$
***************
se invece vuoi fare la convoluzione la puoi fare comunque, basta farla giusta:
$int_(0)^(z)xe^(-x)(z-x)e^(z-x)dx=...=z^3/6e^(-z)$
- Gaussiana
- Gamma (e quindi anche Esponenziale negativa e Chi-quadro)
- Poisson
ma bisogna fare un minimo di attenzione sui parametri ed i risultati si derivano immediatamente dalle proprieta della funzione generatrice dei momenti (FGM)
E' infatti noto che, per variabili indipendenti
(1)
$M_(SigmaX)(t)=Pi M_(X)(t)$
nel tuo caso, la FGM delle singole variabili iid è la seguente: $M_(x)(t)=(1/(1-t))^2$
quindi applicando la proprietà (1) ottieni che la FGM della somma è $M_(Y)(t)=(1/(1-t))^4$
e quindi si riconosce subito che quella è la FGM di una Gamma con parametri $(4;1)$
***************
se invece vuoi fare la convoluzione la puoi fare comunque, basta farla giusta:
$int_(0)^(z)xe^(-x)(z-x)e^(z-x)dx=...=z^3/6e^(-z)$
Grazie ancora 
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