Funzione densità

[Lordofnazgul]

ciao a tutti!

sto cercando di capire come risolvere un esercizio di probabilità e statistica diverso dai soliti (bernoulliana, gaussiana ecc.)

l'esercizio è il seguente :

sia f funzione reale di variabile reale definita da:

$f(x)={((2/x^2),per 1<=x<=2),(0,per x<1Vx>2):}$

a) Provare che f è la funzione di densità di probabilità di una variabile aleatoria X.
b) Scrivere la funzione distribuzione di probabilità F di X, tracciare un graffo qualitativo della funzione F e calcolare $P(-2< X < 2)$
c) Calcolare, se definite, la media e la varianza di X.

Ora, come potrei iniziare secondo voi questo esercizio? non saprei da dove iniziare la dimostrazione... qualche spunto?? grazie mille ragazzi!

[itpareid]

io farei:
per il punto a: la funzione densità di probabilità gode di una proprietà fondamentale: devi dimostrarla.
per il b: usa la definizione di $F$
per il c: sempre la definizione di media e varianza

alla fine si tratta di fare qualche integrale...

[poncelet]

Ti ricordi quali sono le condizioni che deve soddisfare una funzione per essere una densità di probabilità?

[Lordofnazgul]

"maxsiviero":Ti ricordi quali sono le condizioni che deve soddisfare una funzione per essere una densità di probabilità?

"maxsiviero":Ti ricordi quali sono le condizioni che deve soddisfare una funzione per essere una densità di probabilità?

innanzitutto grazie a tutti per le risposte.


allora:


1) $f(x) >= 0$ che è banalmente verificata dato che $2/x^2$ è sempre maggiore di 0 per $1<=x<=2$

e poi deve essere che:


$\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = 1$


solamente che, provando a risolverlo, ottengo sostanzialmente che:

$\int_{1}^{2} (2/x^2) dx = 2*\int_{1}^{2} (1/x^2) = 2*[ln4 - ln1] $

quindi il risultato è $2*ln4$ che però non può essere corretto perchè non è mai uguale ad uno. dove ho sbagliato?

per la media e la varianza invece dovrei aver capito come si fa, però non ho capito per niente il punto b..

[Lordofnazgul]

"itpareid":io farei:
per il punto a: la funzione densità di probabilità gode di una proprietà fondamentale: devi dimostrarla.
per il b: usa la definizione di $F$
per il c: sempre la definizione di media e varianza

alla fine si tratta di fare qualche integrale...

Grazie mille per la tua risposta

ho scritto una possibile soluzione in basso. però non mi è chiaro il punto b... come dovrei procedere secondo te??


per il punto C invece, ad esempio per la media, basta applicare la stessa formula per la seconda condizione che ho scritto nel mio post precedente e moltiplicarla per x?

grazie mille!

[DajeForte]

"Lordofnazgul":dove ho sbagliato?

Nel risolvere l'integrale

$intx^(-2)dx\ =\ -x^(-1)+C$

[Lordofnazgul]

"DajeForte":[quote="Lordofnazgul"]dove ho sbagliato?

Nel risolvere l'integrale

$intx^(-2)dx\ =\ -x^(-1)+C$[/quote]

grazie mille, adesso quadra!


e per risolvere il punto b invece?? grazie mille!

[poncelet]

Devi applicare la definizione di funzione di ripartizione.

[Lordofnazgul]

"maxsiviero":Devi applicare la definizione di funzione di ripartizione.

uhm ho provato a leggere la definizione ma non capisco esattamente cosa devo applicare..
cioè, la definizione dice che:


$F(x) = P(X

ma cosa intendi per "devo applicare la definizione"?

grazie mille..

[poncelet]

$F(x)=int_(-oo)^(x)f(u)du$

[Lordofnazgul]

"maxsiviero":$F(x)=int_(-oo)^(x)f(u)du$

ma per procedere come devo fare? cioè voglio dire, quando devo inserire i numeri, come va scritta?


cioè, tu hai scritto:

$F(x)=int_(-oo)^(x)f(u)du$


ma al posto di meno infinito, al posto di x, al posto di f(u) ecc cosa devo scrivere?


grazie mille e scusa per il disturbo ma queste cose faccio davvero fatica a comprenderle...

[poncelet]

La tua densità è nulla al di fuori dell'intervallo $[1,2]$, quindi l'estremo inferiore di integrazione sarà $1$. Per ottenere la funzione di ripartizione (che essendo una funzione deve dipendere da una variabile, ecco perché hai la $x$ come estremo superiore dell'integrale) devi integrare la tua densità tra $1$ e $x$. Così otterrai quanto ti è richiesto dal punto b).