Funzione che rende variabile aleatoria uniforme.

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Sia \(X \) una variabile aleatoria con densità \( f(x)= \frac{x-1}{2} \) se \( 1 < x < 3 \) e zero altrimenti. Trova una trasformazione monotona \(g \) tale che \(g(X) \) è uniforme su \([0,1] \).

Io ho pensato a questo, supponiamo senza perdità di generalità \(g'(x) \geq 0 \), sicché la funzione di densità della \(g(X) \) è \( f_{g(X)}(x)= 1 \) su \( [0,1] \) e zero altrove poiché uniforme. Allora ho \(f_{g(X)}(y)= \frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=1\) su \( [0,1] \)
Pertanto \( g^{-1}(y) = 2g' (g^{-1}(y)) +1 \)
Ora siccome \( g \) monotona abbiamo che \(g^{-1}(0) = 2g' (g^{-1}(0)) +1 =1\) e \(g^{-1}(1) = 2g' (g^{-1}(1)) +1 =3\)
Da questo deduciamo che
\( g' (g^{-1}(0)) = g'(1)=0 \) e che \( g'(g^{-1}(1))=g'(3) = 1 \) abbiamo che la retta \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \) soddisfa le condizioni di \( g'(x) \) e pertanto \( g(x) = \frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{2}x \) potrebbe essere un candidato.
Non so se funziona come ragionamento.

Cosa interessante e non so se sia un caso o no, direi proprio di no, ma la funzione di ripartizione della densità data è esattamente la \(g \)
\[ F(x) = \int f(x)dx = \frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{2}x \]
proprio perché \(g'(x) = f(x) \).

Edit:
ma cribbio è chiaro \( \frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=1\) pertanto \(f = g' \)....

[Lo_zio_Tom]

Si chiama teorema della trasformazione integrale. Sul forum l'ho dimostrato più volte

[Lo_zio_Tom]

Quando cerchi una cosa non la trovi mai....faccio prima a rifarla

Se $X$ è assolutamente continua con FdR $F_X(x)$ e consideriamo la trasformazione monotona $Y=F_X(x)$

allora la Y si distribuisce così:

$F_(Y)(y)=P[Y<=y]=P[F_X(x)<=y]=P[x<=F_X^(-1)(y)]=F_X[F_X^(-1)(y)]=y$

cioè in modo uniforme su $[0;1]$

qui, se interessa, trovi una bella applicazione di tale teorema

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Grazie, non conoscevo questo teorema.