Funzione caratteristica
Dovrei risolvere il seguente esercizio:
calcolare la funzione caratteristica di una variabile aleatoria X che ha densità
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^-\lambda \lambda^n}{n!} \chi_{[n,n+1)}(x)$, dove $\chi$ è la funzione caratteristica di $x$.
Come si fa?Non riesco proprio ad impostarlo. Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Grazie mille.
calcolare la funzione caratteristica di una variabile aleatoria X che ha densità
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^-\lambda \lambda^n}{n!} \chi_{[n,n+1)}(x)$, dove $\chi$ è la funzione caratteristica di $x$.
Come si fa?Non riesco proprio ad impostarlo. Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Grazie mille.
Risposte
"steven86":
calcolare la funzione caratteristica di una variabile aleatoria X che ha densità
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^-\lambda \lambda^n}{n!} \chi_{[n,n+1)}(x)$, dove $\chi$ è la funzione caratteristica di $x$.
Non ho capito cos'è $\chi$, o meglio, credo di averlo capito, ma non come lo scrivi tu. Può essere?
Per la soluzione, non ci ho ancora pensato, ma proverei subito ad applicare la definizione di funzione caratteristica. Magari scrivila e vediamo se si risolve qualcosa.
Hai ragione, intendevo la funzione indicatrice.
Il problema è che non so come impostare l'integrale.
Avevo pensato così:
$\int_{n}^{n+1} e^{itx}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}dx$, ma poi non mi ritorna il risultato.
In cosa sbaglio?
Il problema è che non so come impostare l'integrale.
Avevo pensato così:
$\int_{n}^{n+1} e^{itx}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}dx$, ma poi non mi ritorna il risultato.
In cosa sbaglio?
L'integrale è su tutto $RR$ perché non puoi portare la funzione indicatrice fuori dalla sommatoria, dipendendo anche lei da $n$.
Hai ragione. Non riuscivo a capire la dipendenza della $x$.
Dovrei averlo risolto:
$\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}e^{itx}\chi_{[n,n+1)}(x)dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}e^{itn}e^{itx}dx=e^{\lambda(e^{it}-1}\int_{0}^{1}e^{itx}dx$
e poi il resto sono solo conti....
Grazie mille!!!!
Dovrei averlo risolto:
$\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}e^{itx}\chi_{[n,n+1)}(x)dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}e^{itn}e^{itx}dx=e^{\lambda(e^{it}-1}\int_{0}^{1}e^{itx}dx$
e poi il resto sono solo conti....
Grazie mille!!!!
"steven86":
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^-\lambda \lambda^n}{n!} \chi_{[n,n+1)}(x)$, dove $\chi$ è la funzione caratteristica di $x$.
La funzione di densità si riferisce ad una Poisson ed il fatto che sia constante negli intervalli (n,n+1) implica che, dato n, X è uniforme in (n,n+1).
Quindi mi pare sia X=P+U.
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