Funzine distribuzione e densita di una V.A. continua.

[Piccolo Fermat]

Siano $U_1$ e $U_2$ variabili causali indipendenti uniformemente distruibite in $[0,1]$ e siano :

$X=min{U_1,U_2}$ e $Y=min{U_1,U_2}$

calcolare la densita' $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ delle variabili %X$ e $Y$


come si procede?

[K.Lomax]

Consideriamo [tex]X=\text{max}(U_1,U_2)[/tex]. La cdf

[tex]F_X(x)=Pr\{X\leq x\}=Pr\{\text{max}(U_1,U_2)\leq x\}=Pr\{U_1\leq x, U_2\leq x\}[/tex]

dove l'ultimo passaggio deriva dal fatto che se il massimo tra due numeri è inferiore a [tex]x[/tex] allora lo saranno entrambi. Ora sfruttando l'indipendenza....
Il minimo lo fai in maniera analoga.

[Piccolo Fermat]

Si in effetti X era il massimo tra le due variabili casuali.

quindi mi resta solo di fare il prodotto tra


$\int_{0}^{x} dx * \int_{0}^{x} dx = x^2$ quindi derivando la funzione di distribuzione si ha la Funzione densitá $2x$


giusto?

[K.Lomax]

Si

[Piccolo Fermat]

ti ringrazio.