F.d.p (X,Y)
Ciao.
Riscrivo qui un esercizio postato in un altro topic
Sia (X,Y) una v.a. doppia distribuita uniformemente nel quadriletero avente vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1).
(i) scrivere la f.d.p. della v.a. (X,Y)
(ii) calcolare la probabilità che la v.a. (X,Y) cada nel quadrilatero di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (2,1)
(iii) calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Io ho pensato di procedere in questo modo:
fatti i grafici sono partito dal punto (ii) e ho pensato che essendo il quadriletero di vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1) un trapezio, avrei che $P((X,Y) in trapezio)=1$ ma questo lo posso dividere in tre triangolini di cui due sono riempiti perfettamente dal quadrilatero del punto (ii) quindi la probabilità di ogni triangolino è di $1/3$, io ne ho due quindi $2/3$. Troppo azzardato come ragionamento?
Veniamo ai punti successivi. Per il punto (i) ho pensato che dato il quadrilatero (e qui ho veramente dubbi sulla veridicità di ciò che sto per scrivere) avrei:
$f_X=1$ per $0<=x<=2$
$f_Y=\{(1 se 1<=y<=2),(y se 0<=y<1):}$
ditemi voi che questo corretto. Ammesso che lo sia avrei quindi
$f_{X,Y}=\{(1 se 1
poi per $E(X|Y=y)$ sapendo che y varia in tutto $RR$ avrei che per $RR^-$ sarebbe nulla e altrettanto per $y<0$ e $y>1$ mentre per gli altri avrei:
-$1/y$ se $0<=x<1$
-$1$ se $1
Aspetto le vostre utilissime opinioni
Riscrivo qui un esercizio postato in un altro topic
Sia (X,Y) una v.a. doppia distribuita uniformemente nel quadriletero avente vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1).
(i) scrivere la f.d.p. della v.a. (X,Y)
(ii) calcolare la probabilità che la v.a. (X,Y) cada nel quadrilatero di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (2,1)
(iii) calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Io ho pensato di procedere in questo modo:
fatti i grafici sono partito dal punto (ii) e ho pensato che essendo il quadriletero di vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1) un trapezio, avrei che $P((X,Y) in trapezio)=1$ ma questo lo posso dividere in tre triangolini di cui due sono riempiti perfettamente dal quadrilatero del punto (ii) quindi la probabilità di ogni triangolino è di $1/3$, io ne ho due quindi $2/3$. Troppo azzardato come ragionamento?
Veniamo ai punti successivi. Per il punto (i) ho pensato che dato il quadrilatero (e qui ho veramente dubbi sulla veridicità di ciò che sto per scrivere) avrei:
$f_X=1$ per $0<=x<=2$
$f_Y=\{(1 se 1<=y<=2),(y se 0<=y<1):}$
ditemi voi che questo corretto. Ammesso che lo sia avrei quindi
$f_{X,Y}=\{(1 se 1
poi per $E(X|Y=y)$ sapendo che y varia in tutto $RR$ avrei che per $RR^-$ sarebbe nulla e altrettanto per $y<0$ e $y>1$ mentre per gli altri avrei:
-$1/y$ se $0<=x<1$
-$1$ se $1
Aspetto le vostre utilissime opinioni
Risposte
Riscrivo anche la domanda a cui ero arrivato:
Se è uniforme nel trapezio allora $f_{X,Y}=1$ dentro il trapezio e $0$ fuori?
In tal caso avrei $f_X=2$ ed $f_Y=1$ possibile?
Se è uniforme nel trapezio allora $f_{X,Y}=1$ dentro il trapezio e $0$ fuori?
In tal caso avrei $f_X=2$ ed $f_Y=1$ possibile?
Se tu integri la densità congiunta devi ottenere uno. Questo è vero se l'area del trapezio è 1. La densità vale l'inverso dell'area deltrapezio dentro a questo e 0 fuori.
"DajeForte":
Se tu integri la densità congiunta devi ottenere uno. Questo è vero se l'area del trapezio è 1. La densità vale l'inverso dell'area deltrapezio dentro a questo e 0 fuori.
Vediamo se ho ben chiaro come fare:
L'area del trapezio è $3/2$ quindi
$f_{X,Y}=\{(2/3),(0):}$
Per trovare la distribuzione della v.a. X so che per $x<=0$ e $x>=2$ è nulla ma nel trapezio per calcolarmela quali estremi di integrazione uso? $0$ e $2$?
mentre per la $y$?
La x varia tra 0 e 2. Per trovare la densità della X devi integrare la densità congiunta rispetto alla y.
Da come è fatto il trapezio devi dividere i due casi x tra 0 e 1, x tra 1 e 2.
Nel primo caso la densità viene x2/3, nel secondo caso viene 2/3. Sempre salvo errori.
Questo perchè a seconda del valore di x gli estremi di integrazione ( dove varia la y) cambiano.
La y invece varia tra 0 e 1, sai trovare la densità?
Da come è fatto il trapezio devi dividere i due casi x tra 0 e 1, x tra 1 e 2.
Nel primo caso la densità viene x2/3, nel secondo caso viene 2/3. Sempre salvo errori.
Questo perchè a seconda del valore di x gli estremi di integrazione ( dove varia la y) cambiano.
La y invece varia tra 0 e 1, sai trovare la densità?
Allora se ho ben capito avrei:
$f_X=int_0^x f_{X,Y}(x,y) dy=2/3x$ , $f_X=int_0^1 f_{X,Y}(x,y) dy=2/3$
$f_Y=int_0^y f_{X,Y}(x,y) dx=2/3y$ , $f_y=int_1^2 f_{X,Y}(x,y) dx=2/3$
E poi di calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Avrei questo:
$E(X|Y=y)=\int_{RR} x({f_{X,Y}(x,y)}/(f_Y(y))dx=2/3y \int_0^y 2/3x dx$
$E(X|Y=y)=\int_{RR} x({f_{X,Y}(x,y)}/(f_Y(y))dx=2/3 \int_1^2 2/3x dx$
O no?
$f_X=int_0^x f_{X,Y}(x,y) dy=2/3x$ , $f_X=int_0^1 f_{X,Y}(x,y) dy=2/3$
$f_Y=int_0^y f_{X,Y}(x,y) dx=2/3y$ , $f_y=int_1^2 f_{X,Y}(x,y) dx=2/3$
E poi di calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Avrei questo:
$E(X|Y=y)=\int_{RR} x({f_{X,Y}(x,y)}/(f_Y(y))dx=2/3y \int_0^y 2/3x dx$
$E(X|Y=y)=\int_{RR} x({f_{X,Y}(x,y)}/(f_Y(y))dx=2/3 \int_1^2 2/3x dx$
O no?
La fY non è corretta. Guarda il disegno del trapezio. Scelto un y tra 0 e 1 che è dove varia la Y ( diversamente dalla X che varia tra 0 e2) da dove a dove varia la x?
"DajeForte":
La fY non è corretta. Guarda il disegno del trapezio. Scelto un y tra 0 e 1 che è dove varia la Y ( diversamente dalla X che varia tra 0 e2) da dove a dove varia la x?
nel pezzo dove la x varia da 0 a 1 la y assume i valori da 0 a 1 poichè segue la funzione $y=x$ mentre dopo quando la x varia tra 1 e 2 la y varia tra 0 e 1.
E ma adesso devi fare il ragionamento inverso. Ovvero fissi prima la y e poi vedi dove varia la x.
se la y è compresa tra 0 e 1 sempre la x varia tra 0 e $x=y$ nel primo pezzo mentre tra 1 e 2 nel secondo. Oppure devo semplicemente mettere che varia tra 0 e 2?
non no hai capito.
fissa una $0
fissa una $0
sarebbero y e 2, perchè se io prendo la retta $y=y_0$ e la interseco con il trapezio vado a toccare la retta $y=x$ e quindi $x=y_0$ e poi $x=2$ quindi $f_Y(y)=2/3(2-y)$
Si.
E poi per calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Avrei questo:
$E(X|Y=y)=\int_{RR} x({f_{X,Y}(x,y)}/(f_Y(y))dx= \int_y^2 x/(2-y) dx=(y+2)/2$
O no?
Avrei questo:
$E(X|Y=y)=\int_{RR} x({f_{X,Y}(x,y)}/(f_Y(y))dx= \int_y^2 x/(2-y) dx=(y+2)/2$
O no?
no. ma scusa non avevo detto che x variava tra y e 2?
"DajeForte":
no. ma scusa non avevo detto che x variava tra y e 2?
si scusa il copia incolla mi ha fregato. Ho corretto. Giusto così?
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