F.d.p. X-Y
Ciao,
altra difficoltà incontrata facendo gli esercizi. Vi posto il problema:
Sapendo che le due leggi esponenziali sono definite per $X,Y in RR^+$ allora ho considerato $X>Y$ e mi sono studiato il dominio andando quindi a vedere che $0
e analogamente
$P(X^2>Y^2)=\int_0^{oo} \int_0^x 4e^{-2x}e^{-4y} dydx= 1/3$
Fin qui è giusto ciò che ho fatto?
Poi ho provato a fare il terzo punto. So di certo che la f.r. di $T=X-Y$ la ottengo con l'integrale di convoluzione ma non so come impostare il calcolo. Qualcuno saprebbe darmi qualche suggerimento?
altra difficoltà incontrata facendo gli esercizi. Vi posto il problema:
Siano X e Y v.a.i. esponenziali di media 1 e 2. Si determini la probabilità che:
1) $X>Y$
2)$X^2>Y^2$
3) la funzione di probabilità di $T=X-Y$
Sapendo che le due leggi esponenziali sono definite per $X,Y in RR^+$ allora ho considerato $X>Y$ e mi sono studiato il dominio andando quindi a vedere che $0
e analogamente
$P(X^2>Y^2)=\int_0^{oo} \int_0^x 4e^{-2x}e^{-4y} dydx= 1/3$
Fin qui è giusto ciò che ho fatto?
Poi ho provato a fare il terzo punto. So di certo che la f.r. di $T=X-Y$ la ottengo con l'integrale di convoluzione ma non so come impostare il calcolo. Qualcuno saprebbe darmi qualche suggerimento?
Risposte
per il primo direi di sì
nel secondo mi sembrano sbagliati gli estremi di integrazione
nel secondo mi sembrano sbagliati gli estremi di integrazione
"itpareid":
per il primo direi di sì
nel secondo mi sembrano sbagliati gli estremi di integrazione
Perché tu che estremi metteresti? Per il terzo punto invece hai qualche suggerimento da darmi?
"Bluff":
$P(X>Y)=\int_0^{oo} \int_0^x 2e^{-x}e^{-2y} dydx= 2/3$
Ma la media dell'esponenziale non è $1/\lambda$?
"retrocomputer":
[quote="Bluff"]
$P(X>Y)=\int_0^{oo} \int_0^x 2e^{-x}e^{-2y} dydx= 2/3$
Ma la media dell'esponenziale non è $1/\lambda$?[/quote]
e quindi anche quello è sbagliato? Scusa ma cosa c'entra la media dell'esponenziale con la probabilità che $X>Y$?
"Bluff":
e quindi anche quello è sbagliato? Scusa ma cosa c'entra la media dell'esponenziale con la probabilità che $X>Y$?
Come cosa c'entra!?
Il testo dell'esercizio dice che X e Y sono esponenziali di media 1 e 2 e io sapevo che la densità dell'esponenziale è $\lambda e^{-\lambda x}$ (per le $x$ positive)... Non so se è chiaro il mio dubbio...
"retrocomputer":
[quote="Bluff"]
e quindi anche quello è sbagliato? Scusa ma cosa c'entra la media dell'esponenziale con la probabilità che $X>Y$?
Come cosa c'entra!?
Il testo dell'esercizio dice che X e Y sono esponenziali di media 1 e 2 e io sapevo che la densità dell'esponenziale è $\lambda e^{-\lambda x}$ (per le $x$ positive)... Non so se è chiaro il mio dubbio...[/quote]Ma infatti io dentro l'integrale ho messo $e^-x 2e^{-2x}$ che sarebbero le due esponenziali di media 1,2.
Non ho capito quindi la tua osservazione.
"Bluff":
Ma infatti io dentro l'integrale ho messo $e^-x 2e^{-2x}$ che sarebbero le due esponenziali di media 1,2.
Non ho capito quindi la tua osservazione.
No, niente, pensavo che all'esponente andasse messo $-1/2x$, invece di $-2x$...
"retrocomputer":
[quote="Bluff"]
Ma infatti io dentro l'integrale ho messo $e^-x 2e^{-2x}$ che sarebbero le due esponenziali di media 1,2.
Non ho capito quindi la tua osservazione.
No, niente, pensavo che all'esponente andasse messo $-1/2x$, invece di $-2x$...[/quote]
Ah ecco sempre giusti comunque confrontare le idee. Avresti altri suggerimenti sul resto dell'esercizio?
Se X è esponenziale di parametro $l$ e dunque con densità $l e^{-lx}$ ha media pari a $1/l$ e dunque se la variabile ha media 2 si ha $l=1/2$.
Si si quello che ha detto anche retrocomputer. Invece per il terzo punto quello su $X-Y$ come si procede?
"Bluff":
Invece per il terzo punto quello su $X-Y$ come si procede?
Più o meno come per il primo punto, ti calcoli $P(X-Y
Oppure puoi usare la formuletta della convoluzione, che per $X+Y$ è
$f_{X+Y}(x)=\int f_X(x-y) f_Y(y)\ dy$
mentre, se non ho fatto male i conti, per $X-Y$ si mette $f_X(x+y)$.
Su questo magari chiedo conferma: il segno si cambia solo alla prima $y$, vero?
Se decido di sfruttare la convoluzione che hai detto tu cioè
devo mettere come estremo $-oo$ e $oo$ giusto? ma ottengo $oo$ dall'integrale.
"retrocomputer":
$f_{X+Y}(x)=\int f_X(x-y) f_Y(y)\ dy$
mentre, se non ho fatto male i conti, per $X-Y$ si mette $f_X(x+y)$.
devo mettere come estremo $-oo$ e $oo$ giusto? ma ottengo $oo$ dall'integrale.
"Bluff":
devo mettere come estremo $-oo$ e $oo$ giusto? ma ottengo $oo$ dall'integrale.
La $f_Y$ è diversa da zero per $y>0$, quindi direi di integrare tra $0$ e $+\infty$.
Ok perfetto. Credo di essere riuscito a completare l'esercizio. Grazie.
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