[EX] - Variabile aleatoria
Sia \(\displaystyle N \ge 3 \) e sia \(\displaystyle \Omega \) l'insieme dei sottoinsiemi non vuoti di \(\displaystyle \{1,2,...,N \} \). In altre parole \[\displaystyle \Omega : = \{\omega \subseteq \{1,2,...,N \} : \omega \ne \emptyset \} \]
Se \(\displaystyle \omega \in \Omega \) sia \(\displaystyle X(\omega) : = \text{max}(\omega) \) il massimo elemento di \(\displaystyle \omega \) e \(\displaystyle Y(\omega) : = \text{min}(\omega) \) il minimo elemento di \(\displaystyle \omega \). Infine, sia \(\displaystyle P \) la probabilità su \(\displaystyle \Omega \).
i) Mostrare che, per \(\displaystyle n \in \{1,2,...,N \} \), \[\displaystyle P(X=n)=\frac{2^{n-1}}{2^{N}-1} \]
ii) Determinare la densità congiunta di \(\displaystyle (X,Y) \)
iii) Determinare la densità di \(\displaystyle X-Y \)
Svolgimento:
(i) Fissato \(\displaystyle n \le N \), il numero di sottoinsiemi \(\displaystyle \omega \) che hanno \(\displaystyle n \) come massimo sono \(\displaystyle 2^{n-1} \) (infatti sto computando il numero degli insiemi del tipo \(\displaystyle A \smallsetminus \{n \} \)), gli elementi dei quali sono numeri naturali \(\displaystyle < n \). L'insieme delle parti di \(\displaystyle \Omega \) ha cardinalità \(\displaystyle 2^{N} \) (\(\displaystyle 2^{N}-1 \) se tolgo l'insieme vuoto). Quindi sarà appunto \[\displaystyle P(X=n)=\frac{2^{n-1}}{2^{N}-1} \]
(ii) Ora, se chiamo \(\displaystyle m \) il minimo dell'insieme, devo quindi in sostanza calcolare la probabilità che, preso a caso un sottoinsieme di \(\displaystyle \{1,2,...,N \} \), esso abbia come massimo \(\displaystyle n \) e come minimo \(\displaystyle m \), ovverosia \(\displaystyle P(X=n,Y=m) \). Si nota come gli elementi compresi tra il massimo ed il minimo siano \(\displaystyle n-m \), e quindi si possano formare con essi \(\displaystyle 2^{n-m} \) possibili (sotto)insiemi. Ne discende che \[\displaystyle P(X=n,Y=m)=\frac{2^{n-m}}{2^{N}-1} \]
Fino a qui ci sono? Il terzo punto mi sembra difficilotto, quindi ci devo pensare un po'.
Se \(\displaystyle \omega \in \Omega \) sia \(\displaystyle X(\omega) : = \text{max}(\omega) \) il massimo elemento di \(\displaystyle \omega \) e \(\displaystyle Y(\omega) : = \text{min}(\omega) \) il minimo elemento di \(\displaystyle \omega \). Infine, sia \(\displaystyle P \) la probabilità su \(\displaystyle \Omega \).
i) Mostrare che, per \(\displaystyle n \in \{1,2,...,N \} \), \[\displaystyle P(X=n)=\frac{2^{n-1}}{2^{N}-1} \]
ii) Determinare la densità congiunta di \(\displaystyle (X,Y) \)
iii) Determinare la densità di \(\displaystyle X-Y \)
Svolgimento:
(i) Fissato \(\displaystyle n \le N \), il numero di sottoinsiemi \(\displaystyle \omega \) che hanno \(\displaystyle n \) come massimo sono \(\displaystyle 2^{n-1} \) (infatti sto computando il numero degli insiemi del tipo \(\displaystyle A \smallsetminus \{n \} \)), gli elementi dei quali sono numeri naturali \(\displaystyle < n \). L'insieme delle parti di \(\displaystyle \Omega \) ha cardinalità \(\displaystyle 2^{N} \) (\(\displaystyle 2^{N}-1 \) se tolgo l'insieme vuoto). Quindi sarà appunto \[\displaystyle P(X=n)=\frac{2^{n-1}}{2^{N}-1} \]
(ii) Ora, se chiamo \(\displaystyle m \) il minimo dell'insieme, devo quindi in sostanza calcolare la probabilità che, preso a caso un sottoinsieme di \(\displaystyle \{1,2,...,N \} \), esso abbia come massimo \(\displaystyle n \) e come minimo \(\displaystyle m \), ovverosia \(\displaystyle P(X=n,Y=m) \). Si nota come gli elementi compresi tra il massimo ed il minimo siano \(\displaystyle n-m \), e quindi si possano formare con essi \(\displaystyle 2^{n-m} \) possibili (sotto)insiemi. Ne discende che \[\displaystyle P(X=n,Y=m)=\frac{2^{n-m}}{2^{N}-1} \]
Fino a qui ci sono? Il terzo punto mi sembra difficilotto, quindi ci devo pensare un po'.
Risposte
"Delirium":
(ii) Ora, se chiamo \(\displaystyle m \) il minimo dell'insieme, devo quindi in sostanza calcolare la probabilità che, preso a caso un sottoinsieme di \(\displaystyle \{1,2,...,N \} \), esso abbia come massimo \(\displaystyle n \) e come minimo \(\displaystyle m \), ovverosia \(\displaystyle P(X=n,Y=m) \). Si nota come gli elementi compresi tra il massimo ed il minimo siano \(\displaystyle n-m \), e quindi si possano formare con essi \(\displaystyle 2^{n-m} \) possibili (sotto)insiemi. Ne discende che \[\displaystyle P(X=n,Y=m)=\frac{2^{n-m}}{2^{N}-1} \]
Fino a qui ci sono? Il terzo punto mi sembra difficilotto, quindi ci devo pensare un po'.
se il massimo n=3 e il minimo m=2, allora abbiamo 1 sottoinsieme, ma \(\displaystyle 2^{n-m}=2^{3-2}=2 \).
Giusto. Allora dovrebbe essere \(\displaystyle 2^{n-m-1} \).
Circa quell'altro esercizio sai dirmi qualcosa wnvl?
Circa quell'altro esercizio sai dirmi qualcosa wnvl?
"Delirium":
Giusto. Allora dovrebbe essere \(\displaystyle 2^{n-m-1} \).
ora non è corretto se n=m
"Delirium":
Circa quell'altro esercizio sai dirmi qualcosa wnvl?
"i" è giusto
o vuoi dire "iii" con "quell'altro esercizio"?
"wnvl":
[quote="Delirium"]Giusto. Allora dovrebbe essere \(\displaystyle 2^{n-m-1} \).
ora non è corretto se n=m[/quote]
Bhé ma se il minimo coincide con il massimo esiste un unico insieme di tal fatta, quindi posso assumere che se \(\displaystyle m=n \) la probabilità sia \[\displaystyle \frac{1}{2^{N}-1} \]
o no?
No no, con "quell'altro esercizio" intendevo l'altra discussione che ho aperto. Non ho ancora pensato a come risolvere il punto (iii).
Ringrazio.
Bhé ma se il minimo coincide con il massimo esiste un unico insieme di tal fatta, quindi posso assumere che se \(\displaystyle m=n \) la probabilità sia \[\displaystyle \frac{1}{2^{N}-1} \]
o no?
giusto, è un caso speciale
No no, con "quell'altro esercizio" intendevo l'altra discussione che ho aperto. Non ho ancora pensato a come risolvere il punto (iii)
guarderò l'altro esercizio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo