[EX] - Variabile aleatoria #3

[Sk_Anonymous]

Sono di nuovo qui a rompere le palle.

Da un mazzo di \(\displaystyle 50 \) carte enumerate da \(\displaystyle 1 \) a \(\displaystyle 50 \), si estraggono a caso \(\displaystyle 3 \) carte. Siano \[\displaystyle X = \text{numero più basso estratto} \] \[\displaystyle Z=\text{numero più alto estratto} \] \[\displaystyle Y=\text{terzo numero estratto} \]

i) Determinare le distribuzioni marginali di \(\displaystyle X \), \(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z \);
ii) Determinare la distribuzione di \(\displaystyle (X,Y) \), e mostrare che \(\displaystyle Y-X \) ha la stessa distribuzione di \(\displaystyle X \).

Inizio con il punto (ii) perché ho dei dubbi, che esporrò, riguardo al punto (i).

Devo calcolare \(\displaystyle P(X=x,Y=y) \); credo sia da intendersi che \(\displaystyle x \le y \). Ho ragionato come segue:
\[\displaystyle P(X=x,Y=y)=\text{prob. di estrarre un numero più grande di x e diverso da y} \cdot\] \[\displaystyle \cdot \text{prob. di estrarre x} \cdot \text{prob. di estrarre y} + \] \[\displaystyle \text{prob. di estrarre x} \cdot \text{prob. di estrarre un numero maggiore di x e diverso da y} \cdot \] \[\displaystyle \cdot \text{prob. di estrarre y}= \] \[\displaystyle \frac{50-x-1}{50} \frac{1}{49} \frac{1}{48} + \frac{1}{50} \frac{50 -x -1}{49} \frac{1}{48} \]

La distribuzione di \(\displaystyle X \) dovrebbe poi potersi ricavare così: fissato \(\displaystyle x \), mi domando quante terne di numeri si possono formare tali che gli altri due siano maggiori di \(\displaystyle x \). Siccome \(\displaystyle x \) è fissato, le terne che hanno al loro interno \(\displaystyle x \) e due numeri più grandi di \(\displaystyle x \) sono \(\displaystyle \binom{50-x}{2} \). Quindi \[\displaystyle P(X=x)=\frac{\binom{50-x}{2}}{\binom{50}{3}} \] che è perfettamente in accordo con alcuni calcoli che ho fatto servendomi della formula delle probabilità totali.

Qui scattano le domande: come provo che la distribuzione di \(\displaystyle X \) è uguale a quella di \(\displaystyle Y-X \) (mi pare che quest'ultima sia una generalizzazione di \(\displaystyle (X,Y) \))? Eppure mi sembra strano che le due distribuzioni siano uguali: per esempio \(\displaystyle P(X=49)=0 \) perché non esiste una terna di numeri sotto le condizioni dettate che abbia come valor minimo il \(\displaystyle 49 \), mentre esistono terne tali che la differenza tra il terzo numero estratto ed il minimo sia \(\displaystyle 49 \), per esempio \(\displaystyle (1,5,50) \).
Inoltre, come si calcolano le densità marginali? Tenendo fissati i valori di due variabili e calcolando sulla terza?

Mi affido a voi. Ringrazio anticipatamente.

[wnvl]

"Delirium":

Devo calcolare \(\displaystyle P(X=x,Y=y) \); credo sia da intendersi che \(\displaystyle x \le y \). Ho ragionato come segue:
\[\displaystyle P(X=x,Y=y)=\text{prob. di estrarre un numero più grande di x e diverso da y} \cdot\] \[\displaystyle \cdot \text{prob. di estrarre x} \cdot \text{prob. di estrarre y} + \] \[\displaystyle \text{prob. di estrarre x} \cdot \text{prob. di estrarre un numero maggiore di x e diverso da y} \cdot \] \[\displaystyle \cdot \text{prob. di estrarre y}= \] \[\displaystyle \frac{50-x-1}{50} \frac{1}{49} \frac{1}{48} + \frac{1}{50} \frac{50 -x -1}{49} \frac{1}{48} \]

Non sono convinto che sia corretto.

Penso che non abbia usato il fatto che Y

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[Sk_Anonymous]

Hai ragione. Allora devo distinguere due casi: il caso in cui il terzo numero estratto sia anche il massimo, e allora la primissima probabilità diventa "probabilità di estrarre un numero più grande di \(\displaystyle x \) e più piccolo di \(\displaystyle y \)"; nel secondo caso il terzo numero estratto non è il massimo, quindi si deve considerare la "probabilità di estrarre un numero più grande di \(\displaystyle x \) e di \(\displaystyle y \)".

Tra l'altro il terzo numero potrebbe anche coincidere con il minimo, e questo non l'avevo considerato.
Allora la faccenda è più contorta di quanto credessi.

Secondo te come posso sistemare? E inoltre, sai dirmi qualcosa circa le domande finali?

Ti ringrazio, wnvl.

[wnvl]

Penso che l'equazione qui sotto possa magari aiutarti.

P(X=x,Y=y)=P(minimum di 3 numeri tra 1 e 50 = x)P(minimum di 2 numeri tra x+1 e 50 = y)

[wnvl]

"wnvl":Penso che l'equazione qui sotto possa magari aiutarti.

P(X=x,Y=y)=P(minimum di 3 numeri tra 1 e 50 = x)P(minimum di 2 numeri tra x+1 e 50 = y)

\(\displaystyle P(\text{minimum di 3 numeri tra 1 e 50} = x)=\frac{\binom{50-x}{2}}{\binom{50}{3}} \)

\(\displaystyle P(\text{minimum di 2 numeri tra x+1 e 50} = y)=\frac{50-y}{\binom{50-x}{2}} \)

...

[wnvl]

"Delirium":
Secondo te come posso sistemare? E inoltre, sai dirmi qualcosa circa le domande finali?

\(\displaystyle P\left(Y-X=a\right)=\sum_{k=1}^{50-a}P\left(X=k\right)P\left(Y=k+a|X=k\right) \)

...

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto che mi hai dato, wnvl. Ho avuto altri grilli per la testa, ma appeno posso leggerò con calma le tue risposte.