[EX] tiro a segno

[G3nd4rM31]

Ciao a tutti ragazzi...

Sto svolgendo un esercizio piuttosto semplice però potrebbe sfuggirmi qualcosa in quanto (non avendo risposte) mi trovo con un risultato differente da un mio amico.

vi scrivo il quesito:
A, B e C sono tre amici al tiro a segno. Vince il primo che riesce a colpire il centro. I tre
sparano a turno nell'ordine “A; B; C” e continuano finché non emerge un vincitore.
A, a ogni sparo, ha una probabilità di 1/2 di colpire il centro; B di 1/3; C di 1/4. Che
probabilità ha C di vincere?

Sec me è abbastanza semplice io farei:
La probabilità che A sbagli(1/2) x la probabilità che B sbagli(2/3) x la probabilità che C tiri a segno (1/4) = 1/12

Questo perchè si devono verificare tutti e 3 gli eventi in successione. Secondo voi è corretto il ragionamento?

Grazie

[Umby2]

"G3nd4rM3":
La probabilità che A sbagli(1/2) x la probabilità che B sbagli(2/3) x la probabilità che C tiri a segno (1/4) = 1/12

1/12 è la p. che C vinca al terzo colpo, ma potrebbe vincere anche al 6^ o al 9^ ......

quindi, la p. è un po più alta ...

[nino_12]

Qualcun altro ti indicherà la formalizzazione precisa.
Il mio è solo un invito a modificare il tuo ragionamento in questo modo:

A colpisce il centro per 1/2 delle volte e sbaglia altrettanto.

Sull'errore di A (cioè sulla metà delle volte), B colpisce il centro per 1/3 di probabilità (cioè per 1/6 rispetto all'inizio) e sbaglia per 2/3 di 1/2 (cioè 1/3)

C può cimentarsi solo per 1/3 e colpisce il centro per 1/4 (cioè 1/12), mentre sbaglia per 3/4 di probabilità (3/12) e quindi il centro non viene colpito da nessuno dei tre dopo il primo giro per 1/4 di probabilità. A questo punto si prosegue con il secondo turno ripartendo da A e saranno ancora rispettate le stesse proporzioni di vincere.

Si è visto che il centro è stato complessivamente colpito (dopo i primi colpi di A, B e C) per 3/4 di probabilità e quindi le probabilità di vincere saranno:

$ P(A) = 1/2*4/3 = 2/3 $

$ P(B) = 1/6*4/3 = 2/9 $

$ P(C) = 1/12*4/3 = 1/9 $

[Rigel1]

Ragionando come nino_, ma tanto per complicarsi la vita , io ho formalizzato così.
Indichiamo con \(P_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}\) la probabilità che \(A\) e \(B\) non colpiscano il bersaglio mentre \(C\) lo colpisce, e con \(P_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}= \frac{1}{4}\) la probabilità che nessuno dei tre colpisca il bersaglio.
Adesso devi sommare, per \(n\) che va da \(1\) a \(+\infty\), le probabilità che all'\(n\)-esimo colpo \(C\) colpisca il bersaglio senza averlo mai colpito prima, mentre sia \(A\) che \(B\) non l'hanno mai colpito in \(n\) colpi.
Vedi facilmente (sfruttando la somma di una serie geometrica) che ottieni
\[
P = P_1 + P_2\cdot P_1 + P_2^2 \cdot P_1 + \ldots
= P_1 (1 + P_2 + P_2^2 + \ldots) = \frac{P_1}{1- P_2} = \frac{1}{9}\,.
\]