Ex su un sistema di allarmi
Salve ragazzi
sto affrontando il seguente esercizio
In un processo produttivo di gas,si ha un sistema di allarme che scatta ogni volta che si rileva la concentrazione di questi gas oltre una certa soglia.
Il sistema di allarme è difettoso e con probabilità $5/6$ scatta ad un effettivo superamento della soglia,mentre con probabilità $1/8$ scatta anche se la soglia non è stata superata.
La soglia di pericolo viene superata ogni giorno con prob $1/25$
1) Calcolare la probabilità che in un dato giorno l'allarme scatti
2) Ogni giorno si ripete indipendentemente dagli altri,calcolare approssimativamente la probabilità che l'allarme scatti 20 volte in 100 giorni
----
Punto 1)
ho definito gli eventi
$S$ "soglia del pericolo superata"
$ALL|S$:" allarme scatta con effettivo superamento"
$ALL|NS$:" allarme scatta senza superamento"
devo trovare $ALL$:" allarme scatta"
Dalla formula delle prob totali
$P(ALL)=P(ALL|S)P(S)+P(ALL|NS)P(NS)=5/6*1/25+24/25*1/8=23/150$
Punto 2)
qui ho pensato di utilizzare la disuguaglianza di Chebischev
Indico $Yi=ALL_1+.....ALL_i$ con $i=1,2...100$ che segue una distribuzione $Yi=BIN(100,29/100)$
devo trovare $P(Yi=20)$
Trovo media e varianza della binomiale respettivamente $E(Y_100)=100(29/150)=19.34$ $VAR(Y_100)=100(29/150)(121/150)=15.60$
dalla disuguaglianza
$P(|Y_100-E(Y_100)|=20-E(Y_100))<=(VAR(Y_100))/0.66^2=35.91$ ma ovviamente è sbagliato
dove sto sbagliando? Grazie a tutti
sto affrontando il seguente esercizio
In un processo produttivo di gas,si ha un sistema di allarme che scatta ogni volta che si rileva la concentrazione di questi gas oltre una certa soglia.
Il sistema di allarme è difettoso e con probabilità $5/6$ scatta ad un effettivo superamento della soglia,mentre con probabilità $1/8$ scatta anche se la soglia non è stata superata.
La soglia di pericolo viene superata ogni giorno con prob $1/25$
1) Calcolare la probabilità che in un dato giorno l'allarme scatti
2) Ogni giorno si ripete indipendentemente dagli altri,calcolare approssimativamente la probabilità che l'allarme scatti 20 volte in 100 giorni
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Punto 1)
ho definito gli eventi
$S$ "soglia del pericolo superata"
$ALL|S$:" allarme scatta con effettivo superamento"
$ALL|NS$:" allarme scatta senza superamento"
devo trovare $ALL$:" allarme scatta"
Dalla formula delle prob totali
$P(ALL)=P(ALL|S)P(S)+P(ALL|NS)P(NS)=5/6*1/25+24/25*1/8=23/150$
Punto 2)
qui ho pensato di utilizzare la disuguaglianza di Chebischev
Indico $Yi=ALL_1+.....ALL_i$ con $i=1,2...100$ che segue una distribuzione $Yi=BIN(100,29/100)$
devo trovare $P(Yi=20)$
Trovo media e varianza della binomiale respettivamente $E(Y_100)=100(29/150)=19.34$ $VAR(Y_100)=100(29/150)(121/150)=15.60$
dalla disuguaglianza
$P(|Y_100-E(Y_100)|=20-E(Y_100))<=(VAR(Y_100))/0.66^2=35.91$ ma ovviamente è sbagliato
dove sto sbagliando? Grazie a tutti
Risposte
Devi usare il TLC non Chebishev. A seconda di ciò che ti è stato insegnato nel corso, con o senza il fattore di correzione per continuità.
Domanda: se l'allarme scatta 21 volte va bene o no? (Secondo me sì) .
Questo perché io avrei scritto "almeno 20 volte ".
Puoi anche fare i conti esatti con la binomiale (usando il compiuter eh, non a mano)
PS: ho dovuto correggerti anche i conticini al punto 1) fai attenzione ⚠
Domanda: se l'allarme scatta 21 volte va bene o no? (Secondo me sì) .
Questo perché io avrei scritto "almeno 20 volte ".
Puoi anche fare i conti esatti con la binomiale (usando il compiuter eh, non a mano)
PS: ho dovuto correggerti anche i conticini al punto 1) fai attenzione ⚠
Grazie della risposta e della correzione
Tramite TLC(considerando che anche io avrei scritto "almeno 20 volte") cosi da scrivere
$P(Y_100>20)=P((Y_100-15.33)/sqrt(12.98)>(20-15.33)/sqrt(12.98))=1-Phi(1.28)$
C'è un motivo per il quale si preferisce TLC o Chebishev o addirittura LGN?
Sto affrontando il tutto da autodidatta e dagli appunti del prof penso che questo sia il TLC con fattore di continuità
Tramite TLC(considerando che anche io avrei scritto "almeno 20 volte") cosi da scrivere
$P(Y_100>20)=P((Y_100-15.33)/sqrt(12.98)>(20-15.33)/sqrt(12.98))=1-Phi(1.28)$
C'è un motivo per il quale si preferisce TLC o Chebishev o addirittura LGN?
Sto affrontando il tutto da autodidatta e dagli appunti del prof penso che questo sia il TLC con fattore di continuità
"Sasuke93":
Tramite TLC(considerando che anche io avrei scritto "almeno 20 volte")
Allora $>19,5$, no?
"ghira":
[quote="Sasuke93"]
Tramite TLC(considerando che anche io avrei scritto "almeno 20 volte")
Allora $>19,5$, no?[/quote]
In quel caso mi cambia il fattore che ora è 20.O no?
Devi calcolare $P(X >=20)$. Applicando il fattore di correzione devi ampliare l'intervallo quindi $P(X>19.5)$ considerando $X$ continua . Poi standardizzi ed usi le tavole della gaussiana
Ok ho capito cosa si intende con il fattore di correzione. E quindi anche a cosa si riferiva ghira.
Ora cosa che però non mi è chiara è quando si devono utilizzare questi fattori di correzione.
Ho visto in giro per il web e non solo che questo discorso di "ampliamento dell'intervallo" non sempre viene applicato e mi domandavo il perchè.
A seguire. Come mai la disugualianza di Chebishev non può essere applicata in questo caso? E quando preferire l'una all altra(intendo TLC)?Ho letto in altri post che come regola empirica c'è da considerare $n>32$ per avere un buon risultato d'approssimazione.
Grazie infinite per gli interventi comunque
Ora cosa che però non mi è chiara è quando si devono utilizzare questi fattori di correzione.
Ho visto in giro per il web e non solo che questo discorso di "ampliamento dell'intervallo" non sempre viene applicato e mi domandavo il perchè.
A seguire. Come mai la disugualianza di Chebishev non può essere applicata in questo caso? E quando preferire l'una all altra(intendo TLC)?Ho letto in altri post che come regola empirica c'è da considerare $n>32$ per avere un buon risultato d'approssimazione.
Grazie infinite per gli interventi comunque
quando (e soprattuto come) usare il fattore di correzione è un argomento che è stato trattato ampiamente sul formu. Personalmente avrò risposto ad una decina, forse più, di post sull'argomento. Usa la funzione cerca.
La disuguaglianza di Chebishev in questo caso non c'entra proprio nulla.
Devi approssimare una distribuzione binomiale con una gaussiana...per avere una buona approssimazione è necessario usare il fattore di correzione, perché passando dal discreto al continuo "spezzi" in due una "barra" degli istogrammi della binomiale.
Prova a fare i calcoli sia con la binomiale che con la gaussiana, con e senza il fattore di correzione e vedrai le differenze. E' un esercizio facile ma molto esplicativo
La disuguaglianza di Chebishev in questo caso non c'entra proprio nulla.
Devi approssimare una distribuzione binomiale con una gaussiana...per avere una buona approssimazione è necessario usare il fattore di correzione, perché passando dal discreto al continuo "spezzi" in due una "barra" degli istogrammi della binomiale.
Prova a fare i calcoli sia con la binomiale che con la gaussiana, con e senza il fattore di correzione e vedrai le differenze. E' un esercizio facile ma molto esplicativo
Consideriamo il seguente e semplice esempio:
Prendiamo una distribuzione binomilale $X~B i n(20;1/2)$ di media $mu=10$ e varianza $sigma^2=5$
il cui grafico è in figura (cliccalo per ingrandirlo)
Caloliamo, ad esempio,
$\mathbb{P}[X<7]=\mathbb{P}[X=0]+\mathbb{P}[X=1]+\mathbb{P}[X=2]+...+\mathbb{P}[X=6]=5.77%$
Proviamo ora con l'approssimazione ad una normale, senza fattore di correzione
$\mathbb{P}[X<7]=\Phi((7-10)/sqrt(5))=8.99%$
con fattore di correzione (opportunamente scelto)
$\mathbb{P}[X<6.5]=\Phi((6.5-10)/sqrt(5))=5.88%$
come vedi la seconda approssimazione è molto vicino al valore esatto.
Se sei a digiuno di queste cose ti consiglio un buon libro di testo... ce ne sono davvero tanti.
Prendiamo una distribuzione binomilale $X~B i n(20;1/2)$ di media $mu=10$ e varianza $sigma^2=5$
il cui grafico è in figura (cliccalo per ingrandirlo)
Caloliamo, ad esempio,
$\mathbb{P}[X<7]=\mathbb{P}[X=0]+\mathbb{P}[X=1]+\mathbb{P}[X=2]+...+\mathbb{P}[X=6]=5.77%$
Proviamo ora con l'approssimazione ad una normale, senza fattore di correzione
$\mathbb{P}[X<7]=\Phi((7-10)/sqrt(5))=8.99%$
con fattore di correzione (opportunamente scelto)
$\mathbb{P}[X<6.5]=\Phi((6.5-10)/sqrt(5))=5.88%$
come vedi la seconda approssimazione è molto vicino al valore esatto.
Se sei a digiuno di queste cose ti consiglio un buon libro di testo... ce ne sono davvero tanti.
Meglio vedere queste cose su qualche libro anche se già così la cosa mi è molto più chiara. Grazie mille
Boh, io avrei scritto $ C(100,20)(23/150)^20(127/150)^80$ pari a circa il 4,56%
ovviamente sì. Il problema nasce dal fatto che il testo richiede espressamente di
ed essendo un esercizio per newbies, leggo fra le righe: "usare il TLC"...di qui tutte le elucubrazioni mentali che hai potuto leggere...e che comunque sono molto utili, secondo me, per capire un po' l'utilizzo consapevole del Teorema Centrale del Limite
"Sasuke93":
calcolare approssimativamente la probabilità che l'allarme scatti 20 volte in 100 giorni
ed essendo un esercizio per newbies, leggo fra le righe: "usare il TLC"...di qui tutte le elucubrazioni mentali che hai potuto leggere...e che comunque sono molto utili, secondo me, per capire un po' l'utilizzo consapevole del Teorema Centrale del Limite
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