[EX]: studio convergenza

[Lo_zio_Tom]

Siano $(X_n)_(n in NN)$ variabili aleatorie reali indipendenti ed identicamente distribuite con legge

$f_X(x)=|x|mathbb{1}_((-1;1))(x)$

Sia $Y~"Binomiale"(1;1/2)$ indipendente da $(X_n)_(n in NN)$.

Definiamo $T_n=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ e $Y_n=max(X_1,...,X_n)$

1. Calcolare $lim_(n rarr+oo)mathbb{P}[T_n<=alphan]$ con $alpha !=1/2$

2. Calcolare $lim_(n rarr+oo)mathbb{P}[T_n<=n/2+sqrt(n)]$

3. Studiare la convergenza Quasi certa, in Probabilità, in Legge ed in $L^P$ di $Y_n$

4. Calcolare $lim_(n rarr+oo)mathbb{P}[Y+Y_n>1]$

Buon lavoro a chiunque fosse interessato.

indizi:

1) e 2)

capire come si distribuisce $X^2$ ed utilizzare la Legge Forte dei Grandi Numeri

3) La successione $Y_n=Max(X_i)$ è chiaramente limitata superiormente da 1 ed inferiormente da -1. Se riesci a dimostrare che la successione è monotona hai finito.

Infatti

- se è monotona e limitata, allora converge qc, in probabilità ed in legge.
- se è limitata e converge in probabilità, allora converge anche in $L^P$

4) dimostrando[nota]come in effetti è...[/nota] che $Y_n\stackrel("q.c. ")rarr 1$ allora riuscirai anche a dire che

$lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[Y_n+Y>1]=mathbb{P}[Y>0]=mathbb{P}[Y=1]=1/2$

[mariokarter]

Si era mio questo esercizio e mi scuso per come l'avevo richiesto (era il giorno prima dell'esame ed ero un po' in panico)... comunque, successivamente avevo provato a risolverlo... e qualcosa ero riuscito a fare dei primi due punti (cercando di scrivermi con calma tutti i passaggi, forse dilungandomi troppo).

Questo è come ho provato a risolvere il primo punto:

1) Calcolare il $lim_(n rarr+oo)mathbb{P}[T_n<=alphan]$ con $alpha !=1/2$

Tale limite corrisponde a $lim_(n rarr+oo)mathbb{P}[T_n/n
Studiamo $T_n/n$: $T_n/n = (X_1^2 + ... + X_n^2) / n = (F(X_1) + ... + F(X_n)) / n$, con $F(X_i)=X_i^2$

Osserviamo che $(X_n)_n$ è una successione di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, con $Var(X_i) = 1/18 < infty, forall i$
Quindi, abbiamo che: $(X_1 + ... + X_n) / n$ converge quasi certamente a $mu$

Presa $F$ t.c. $F(X_i)=X_i^2$, si verifica che $mathbb{E}[|F(X_i)|^2 ] = ... = 1/3 < infty , forall i$, segue che $F(X_1),...,F(X_n)$ sono ancora indipendenti ed identicamente distribuite.

Segue che: $(F(X_1) + ... + F(X_n)) / n$ converge q.c. a $mathbb{E}[F(X_1)] = 1/2$, per LGN

Quindi: $T_n/n$ converge q.c. a $1/2$

Quindi: $lim_(n rarr+oo)mathbb{P}[T_n/n1/2 ) :}$

[Lo_zio_Tom]

sì va bene[nota]io ho risolto diversamente: si vede immediatamente che $X^2~U(0;1)$ di media $mu=1/2$. Quindi per la LFGN hai subito la convergenza quasi certa ad $1/2$[/nota], con qualche confusione nei simboli[nota]

"mariokarter": con $F(X_i)=X_i^2$

indicare una qualunque funzione della variabile $X$ con $F$ quando con $F$ si denota sempre la FdR mi pare una scelta ambigua....[/nota] e qualche refuso[nota]

"mariokarter": con $Var(X_i) = 1/18 < infty, forall i$

no, viene $1/2$[/nota] ma secondo me il risultato è diverso....però dipende anche da come si interpreta la traccia[nota]se devo calcolare la probabilità che $a<4/5$ ma diverso da $1/2$ per me $a=1/2$ è escluso dall'intervallo[/nota].....


Dato che $T_n/n$ converge quasi certamente a 1/2 si può scrivere anche meglio così

$mathbb{P}[lim_(n rarr +oo)T_n/n=1/2]=1$

Quindi il punto 1 è sempre zero mentre il due sempre 1

vai avanti....

Partiamo dalla convergenza in legge del $max(X_i)$

la sua FdR è

$F_(Y_n)(y)={{: ( 0 , ;y<-1 ),( [F_X]^n ,;-1<=y<1 ),( 1 , ;y>=1 ) :}$

ovviamente la $F_X$ (non serve calcolarla esplicitamente) è sempre minore di uno nell'intervallo $(-1;1)$....e quindi $F_(X)^n$ va a zero, al limite, e quindi il limite della FdR del massimo viene

$F_(Y_n)(y)={{: ( 0 , ;y<1 ),( 1 , ;y>=1 ) :}$

converge a 1, sia in distribuzione che in probabilità....prova che la successione è monotona ed hai finito.

[mariokarter]

2) Calcolare il $lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[T_n<=n/2+sqrt{n}]$

Abbiamo che: $T_n = X_1^2 + ... + X_n^2$, da prima sappiamo che $X_i^2$ sono i.i.d. $forall i$ e che $mathbb{E}[X_i^2]=1/2=mu$

Verifichiamo che $Var(X_i^2)=1/12 < infty$

Possiamo quindi applicare il teorema del limite centrale:

$lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[T_n<=n/2+sqrt{n}] = lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[X_1^2 + ... + X_n^2 <= n/2 + sqrt{n}]$
$= lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[(X_1^2 + ... + X_n^2 - nmu)/sqrt{nsigma^2} <= (n/2 + sqrt{n} - nmu)/sqrt{nsigma^2}]$
$= lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[(X_1^2 + ... + X_n^2 - n/2)/sqrt{n/12} <= (n/2 + sqrt{n} - n/2)/sqrt{n/12}] = ... $
$= lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[(X_1^2 + ... + X_n^2 - n/2)/sqrt{n/12} <= 2sqrt{3}]$, dove $(X_1^2 + ... + X_n^2 - n/2)/sqrt{n/12}$ è una $Z~N(0,1)$

Quindi, si ha che $mathbb{P}[Z<2sqrt{3}] = 0.9997$ segue che $lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[T_n<=n/2+sqrt{n}] = 0.9997$

Così è come avevo fatto...

[mariokarter]

L'inizio del punto 3 l'ho fatto come l'hai fatto tu fino alla convergenza in distribuzione e probabilità. Poi mi sono fermato perché non riuscivo ad andare avanti. Ora provo.

[Lo_zio_Tom]

2) io ho fatto così:

sapendo addirittura che $mathbb{P}[lim_(n rarr +oo)T_n/n=1/2]=1$

allora mi sembra evidente che

$lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[T_n/n<1/2+delta]=1$


così è più snello ed elegante....

"mariokarter":L'inizio del punto 3 l'ho fatto come l'hai fatto tu fino alla convergenza in distribuzione e probabilità. Poi mi sono fermato perché non riuscivo ad andare avanti. Ora provo.

$Y_n=max(Y_(n-1),X_n)=?$

come si possono relazionare fra di loro $Y_(n-1)$ e $Y_n$?

tieni presente che:

Theorem: sia $(X_n)_n$ una successione di variabili aleatorie. supponiamo che $X_n$ sia monotona in $n$, cioè $X_n>=X_(n+1)$ (rispettivamente $X_n<=X_(n+1)$) per ogni $n$. Se esiste una costante $C$ tale che per ogni $n$ vale l'uguaglianza $mathbb{P}(X_n>=C)=1$ (rispettivamente $mathbb{P}(X_n<=C)=1$) allora $X_n$ converge in distribuzione, in probabilità e quasi certamente.

[mariokarter]

Ero a conoscenza del teorema... la nostra $Y_n$ è maggiore o uguale ad 1 con probabilità 1.
Ma non riesco a dimostrare la monotonia... nel nostro caso dovrebbe essere decrescente giusto?

[Lo_zio_Tom]

"mariokarter":... la nostra $Y_n$ è maggiore o uguale ad 1 con probabilità 1.
Ma non riesco a dimostrare la monotonia... nel nostro caso dovrebbe essere decrescente giusto?

.....la $Y_n$ è il massimo valore delle $X_i$ e quindi tutte le variabili sono, in modulo, minori di 1

Per dimostrare la monotonia della successione, come ti ho suggerito prima, basta osservare che

$Y_n=max(X_1,...,X_n)=max(Y_(n-1),X_n)>=Y_(n-1)$

e quindi, evidentemente, per ogni $n$ si ha che

$Y_n>=Y_(n-1)$

La successione è dunque monotona NON DECRESCENTE. Essendo superiormente limitata[nota]cresce, cresce cresce ma a 1 si ferma perché è limitata...[/nota] da 1 converge qc, in probabilità ed in legge.

Dato che la successione è limitata e converge in probabilità ad 1 ci converge anche in $L^P$

Ora avendo dimostrato che $mathbb{P}[lim_(n rarr +oo)Y_n=1]=1$ è anche evidente che

$lim_(n rarr +oo)mathbb{P}[Y_n+Y>1]=mathbb{P}[Y>0]=1/2$



fine dell'esercizio

[mariokarter]

Grazie mille tommik

Ora continuo a fare altri esercizi e vedo se riesco a prenderci la mano