[EX] Probabilità su tre dadi
Ciao a tutti...Posso pubblicare quì una domanda?
Ho un problema con un esercizio di probabilità sui dadi!!
L'esercizio dice
lanciando quattrovolte un dado equo, qual è la probabilità di ottenere la ripetizione di due esiti (ossia complessivamente solo due risultati diversi)?
ecco non riesco proprio a capire quello che mi chiede
Posso impostare l'esercizio come se mi chiedesse di 4 dadi lanciati contemporaneamente? E' la stessa cosa vero?
Io ho proseguito così: ho pensato alla cardinalità dello spazio campionario |\omega| = \(\displaystyle 6^4 \) perchè ho sei possibilità diverse per ogni dado. Poi ho considerato l'evento E dei casi favorevoli \(\displaystyle E= { 1122, 1133, 1144,.....,6644, 6655}\) perchè ho pensato alla ripetizione di DUE esiti. Ecco a questo punto ho trovato che la cardinalità di E è uguale a 30. Dunque con la regola casi favorevoli su casi possibili ho trovato che \(\displaystyle P(E)=5/6^3 \).
Fatto bene?! Help!!
Ho un problema con un esercizio di probabilità sui dadi!!
L'esercizio dice
lanciando quattrovolte un dado equo, qual è la probabilità di ottenere la ripetizione di due esiti (ossia complessivamente solo due risultati diversi)?
ecco non riesco proprio a capire quello che mi chiede
Posso impostare l'esercizio come se mi chiedesse di 4 dadi lanciati contemporaneamente? E' la stessa cosa vero?
Io ho proseguito così: ho pensato alla cardinalità dello spazio campionario |\omega| = \(\displaystyle 6^4 \) perchè ho sei possibilità diverse per ogni dado. Poi ho considerato l'evento E dei casi favorevoli \(\displaystyle E= { 1122, 1133, 1144,.....,6644, 6655}\) perchè ho pensato alla ripetizione di DUE esiti. Ecco a questo punto ho trovato che la cardinalità di E è uguale a 30. Dunque con la regola casi favorevoli su casi possibili ho trovato che \(\displaystyle P(E)=5/6^3 \).
Fatto bene?! Help!!
Risposte
Ciao.
Non hai considerato che non deve necessariamentte essere il secondo dado ad essere uguale al primo.
Ma potrebbe essere anche il terzo oppure il quarto.
Per cui devi moltiplicare il tuo risultato per 3, e diventa 5/72.
Spero di essere stato chiaro.
Saluti.
Luciano.
Non hai considerato che non deve necessariamentte essere il secondo dado ad essere uguale al primo.
Ma potrebbe essere anche il terzo oppure il quarto.
Per cui devi moltiplicare il tuo risultato per 3, e diventa 5/72.
Spero di essere stato chiaro.
Saluti.
Luciano.
Non ho capito perchè devo moltiplicare il mio risultato per 3. Hai ragione non ho considerato il caso in cui le ripetizioni sono intermedie, quindi per calcolare la cardinalità di \(\displaystyle E = 1212, 1221, 1122, 2211, 2121, 1313, 1331,...\) ecc ecc devo scrivere per esteso tutte le possibili combinazioni o c'è un modo per farlo?
Grazie mille
Grazie mille
Ciao.
Consideriamo la coppia 1 e 2.
Le possibili disposizioni di 4 elementi a 2 a 2 uguali sono 6 ovvero 4! diviso 2!x2! ovvero 24/4
Per verifica te le scrivo
1122 - 1212 - 1221 - 2112 - 2121 - 2211
Le possibili coppie con 6 elementi sono 15 (6 x5 )/2.
I tuoi casi favorevoli sono quindi 15 x 6 = 90
I cassi possibili 6x6x6x6= 1296
La tua probabilità è 90/1296 che semplificando diventa 5/72
Spero di non aver scritto cavolate.
Saluti Luciano.
Consideriamo la coppia 1 e 2.
Le possibili disposizioni di 4 elementi a 2 a 2 uguali sono 6 ovvero 4! diviso 2!x2! ovvero 24/4
Per verifica te le scrivo
1122 - 1212 - 1221 - 2112 - 2121 - 2211
Le possibili coppie con 6 elementi sono 15 (6 x5 )/2.
I tuoi casi favorevoli sono quindi 15 x 6 = 90
I cassi possibili 6x6x6x6= 1296
La tua probabilità è 90/1296 che semplificando diventa 5/72
Spero di non aver scritto cavolate.
Saluti Luciano.
Ti posto una risposta che mi è stata data su un altro forum ma che non riesco a capire.
" Gli eventi elementari sono le quaterne ordinate di elementi dell'insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, lo spazio degli eventi elementari è Ω = A×A×A×A formato da |Ω| = 1296 quaterne, evidentemente equiprobabili, per cui la probabilità di un evento E è quella uniforme,
pr(E) = |E|/|Ω|.
Vogliamo la probabilità dell'evento H = {(a,b,c,d): |{a,b,c,d}| = 2}.
Si tratta di calcolare il numero di quaterne in H; è un problema combinatorio.
Le quaterne in H sono di due tipi:
(a) Tipo 2+2.
Si possono scegliere le posizioni dei numeri in 3 modi
(x,x,y,y), (x,y,x,y), (x,y,y,x)
e la scelta dei numeri x, y si può fare in 6·5 = 30 modi, per un totale di 3·30 = 90 quaterne di tipo 2+2.
(b) Tipo 1+3.
Si possono scegliere le posizioni dei numeri in 4 modi
(x,y,y,y), (y,x,y,y), (y,y,x,y), (y,y,y,x)
e la scelta dei numeri x, y si può fare in 6·5 = 30 modi, per un totale di 4·30 = 120 quaterne di tipo 1+3.
In totale, H è formato da |H| = 90+120 = 210 quaterne,
pr(H) = |H|/|Ω| = 210/1296 ≈ 16 % "
" Gli eventi elementari sono le quaterne ordinate di elementi dell'insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, lo spazio degli eventi elementari è Ω = A×A×A×A formato da |Ω| = 1296 quaterne, evidentemente equiprobabili, per cui la probabilità di un evento E è quella uniforme,
pr(E) = |E|/|Ω|.
Vogliamo la probabilità dell'evento H = {(a,b,c,d): |{a,b,c,d}| = 2}.
Si tratta di calcolare il numero di quaterne in H; è un problema combinatorio.
Le quaterne in H sono di due tipi:
(a) Tipo 2+2.
Si possono scegliere le posizioni dei numeri in 3 modi
(x,x,y,y), (x,y,x,y), (x,y,y,x)
e la scelta dei numeri x, y si può fare in 6·5 = 30 modi, per un totale di 3·30 = 90 quaterne di tipo 2+2.
(b) Tipo 1+3.
Si possono scegliere le posizioni dei numeri in 4 modi
(x,y,y,y), (y,x,y,y), (y,y,x,y), (y,y,y,x)
e la scelta dei numeri x, y si può fare in 6·5 = 30 modi, per un totale di 4·30 = 120 quaterne di tipo 1+3.
In totale, H è formato da |H| = 90+120 = 210 quaterne,
pr(H) = |H|/|Ω| = 210/1296 ≈ 16 % "
"superpippone":
Le possibili coppie con 6 elementi sono 15 (6 x5 )/2.
I tuoi casi favorevoli sono quindi 15 x 6 = 90
perchè i miei casi favorevoli sono 15x6??
"matleta":
(b) Tipo 1+3.
Si possono scegliere le posizioni dei numeri in 4 modi
(x,y,y,y), (y,x,y,y), (y,y,x,y), (y,y,y,x)
Mi pare che questi casi non siano considerati nella soluzione di superpippone e io non so proprio quale possa essere la giusta interpretazione del problema... La frase "ossia complessivamente solo due risultati diversi" mi indurrebbe a considerare anche questo caso b, ma non ne sono affatto sicuro...
Ciao.
Nella domanda iniziale ave chiesto qual'era la probabilità "della ripetizione di due esiti".
Per cui la mia interpretazione era che ci fossero due coppie di numeri altrimenti non si ripeterebbero 2 esiti, ma uno si ripeterebbe 3 volte e l'altro non si ripeterebbe.
Infatti nel secondo nel secondo esempio ci sono 3y e 1x.
Per miglior comprensione ti scrivo la casistica completa:
4 esiti uguali 6 casi
3 esiti uguali e uno diverso 120 casi
2 coppie di esiti uguali 90 casi
1 coppia e altri 2 diversi 720 casi
4 esiti diversi 360 casi
Totale 1296 casi
Spero di essere stato chiaro
Nella domanda iniziale ave chiesto qual'era la probabilità "della ripetizione di due esiti".
Per cui la mia interpretazione era che ci fossero due coppie di numeri altrimenti non si ripeterebbero 2 esiti, ma uno si ripeterebbe 3 volte e l'altro non si ripeterebbe.
Infatti nel secondo nel secondo esempio ci sono 3y e 1x.
Per miglior comprensione ti scrivo la casistica completa:
4 esiti uguali 6 casi
3 esiti uguali e uno diverso 120 casi
2 coppie di esiti uguali 90 casi
1 coppia e altri 2 diversi 720 casi
4 esiti diversi 360 casi
Totale 1296 casi
Spero di essere stato chiaro
"superpippone":
Nella domanda iniziale ave chiesto qual'era la probabilità "della ripetizione di due esiti".
Per cui la mia interpretazione era che ci fossero due coppie di numeri altrimenti non si ripeterebbero 2 esiti, ma uno si ripeterebbe 3 volte e l'altro non si ripeterebbe.
Senza la "spiegazione" tra parentesi anch'io non avrei dubbi a interpretare il problema come hai fatto tu, solo che, appunto, il contenuto delle parentesi mi confonde, invece di chiarire
premetto non ho letto tutto il post.
intendi questa parentesi:
se sì io lo interpreto che nei vari lanci, le combinazioni possibili, ci sono due risultati diversi e perciò gli altri due devono per forza esser uguali.
1033 1244 ...
"retrocomputer":
Senza la "spiegazione" tra parentesi anch'io non avrei dubbi a interpretare il problema come hai fatto tu, solo che, appunto, il contenuto delle parentesi mi confonde, invece di chiarire
intendi questa parentesi:
(ossia complessivamente solo due risultati diversi)
se sì io lo interpreto che nei vari lanci, le combinazioni possibili, ci sono due risultati diversi e perciò gli altri due devono per forza esser uguali.
1033 1244 ...
Ciao.
Hai ragione retrocomputer.
La parentesi confusiona.
Diciamo allora che i problemi sono 2:
Con ripetizione di 2 esiti i casi favorevoli sono 90 ;
Con solo 2 tipi di esito diversi i casi favorevoli sono 210.
E' solo una questione di interpretazione.
Riciao.
Hai ragione retrocomputer.
La parentesi confusiona.
Diciamo allora che i problemi sono 2:
Con ripetizione di 2 esiti i casi favorevoli sono 90 ;
Con solo 2 tipi di esito diversi i casi favorevoli sono 210.
E' solo una questione di interpretazione.
Riciao.
però i risultati cambiano...
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