[EX] - Probabilità
Saluti. Domando conferme intorno allo svolgimento del seguente esercizio:
Io ho svolto così: sia A l'evento "la RAM ha il difetto A" e B l'evento "la RAM ha il difetto B". Allora dal testo sappiamo che \[\displaystyle P(A \cup B)=0.3 \] \[\displaystyle P(A \cap B^{c})=0.1 \] \[\displaystyle P(A \cap B)=0.2 \]
Del resto valgono \[\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B) \ \Rightarrow \ 0.5=P(A) + P(B) \] e la seguente identità insiemistica \[\displaystyle A \cap B^{c} = A \smallsetminus B \]
da cui \[\displaystyle P(A \cap B^{c})=P(A \smallsetminus B)=P(A) - P(B) \]
e con queste deduzioni posso rispondere alle richieste a) e b).
Ho svolto bene fino a questo punto?
Una fabbrica produce RAM che possono avere due tipi di difetti: il difetto A ed il difetto B. Il responsabile per la qualità della fabbrica afferma, dall'esperienza passata, che la probabilità che una RAM abbia almeno uno dei due difetti è pari a \(\displaystyle 0.3 \); la probabilità che abbia il difetto A ma non il B è pari a \(\displaystyle 0.1 \); la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a \(\displaystyle 0.2 \). Calcolare la probabilità che una RAM abbia:
a) il difetto A;
b) il difetto B;
c) il difetto A, dato che si è riscontrato che non abbia il difetto B.
Io ho svolto così: sia A l'evento "la RAM ha il difetto A" e B l'evento "la RAM ha il difetto B". Allora dal testo sappiamo che \[\displaystyle P(A \cup B)=0.3 \] \[\displaystyle P(A \cap B^{c})=0.1 \] \[\displaystyle P(A \cap B)=0.2 \]
Del resto valgono \[\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B) \ \Rightarrow \ 0.5=P(A) + P(B) \] e la seguente identità insiemistica \[\displaystyle A \cap B^{c} = A \smallsetminus B \]
da cui \[\displaystyle P(A \cap B^{c})=P(A \smallsetminus B)=P(A) - P(B) \]
e con queste deduzioni posso rispondere alle richieste a) e b).
Ho svolto bene fino a questo punto?
Risposte
"Delirium":
Ho svolto bene fino a questo punto?
Penso che sia corretto.
Grazie, wnvl. La terza richiesta credo sia da svolgersi semplicemente così: \[\displaystyle P(A | B^{c})=\frac{P(A \cap B^{c})}{P(B^{c})} \]
e possiedo tutti i dati per concludere.
e possiedo tutti i dati per concludere.
Riporto in alto per chiedere conferme intorno allo svolgimento del seguente altro esercizio:
E' stato indetto un referendum in una popolazione di \(\displaystyle n \ge 1 \) individui (tutti aventi diritto al voto). Ciascun individuo andrà a votare con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), indipendentemente dagli altri. Inoltre, se un individuo andrà a votare, voterà Sì con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), indipendentemente dagli altri.
a) Si fissi un individuo. Qual è la probabilità \(\displaystyle p \) che egli vada a votare e voti Sì?
Risposta: \(\displaystyle p=1/4 \)
b) Qual è la probabilità che il numero di voti Sì sia \(\displaystyle k \), per \(\displaystyle k \in \{0,...,n \} \)?
Risposta: \(\displaystyle \binom{n}{k} \left(\frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{n-k} \)
Tutto ok fin qui?
E' stato indetto un referendum in una popolazione di \(\displaystyle n \ge 1 \) individui (tutti aventi diritto al voto). Ciascun individuo andrà a votare con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), indipendentemente dagli altri. Inoltre, se un individuo andrà a votare, voterà Sì con probabilità \(\displaystyle 1/2 \), indipendentemente dagli altri.
a) Si fissi un individuo. Qual è la probabilità \(\displaystyle p \) che egli vada a votare e voti Sì?
Risposta: \(\displaystyle p=1/4 \)
b) Qual è la probabilità che il numero di voti Sì sia \(\displaystyle k \), per \(\displaystyle k \in \{0,...,n \} \)?
Risposta: \(\displaystyle \binom{n}{k} \left(\frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{n-k} \)
Tutto ok fin qui?
"Delirium":
Tutto ok fin qui?
Sì.
Grazie, wnvl. Chiedo ancora un'ultima conferma. L'esercizio è il seguente:
Antonio e Berta si incontrano per una gara di scacchi. Convengono di fare due partite, assegnando punti nel solito modo, cioè un punto per ogni partita vinta, zero punti per partite perse, mezzo punto in caso di pareggio o patta. Se dopo le due partite i due giocatori hanno uguale punteggio, lanceranno una moneta equilibrata per determinare il vincitore della gara. Antonio sa giocare con due diversi approcci, uno offensivo e uno difensivo, mentre Berta gioca sempre in maniera offensiva. Se Antonio gioca in maniera offensiva, vince con probabilità \(\displaystyle p \in (0,1] \) e perde con probabilità \(\displaystyle 1-p \). Se invece gioca in maniera difensiva, pareggia con probabilità \(\displaystyle q \in (0,1] \) e perde con probabilità \(\displaystyle 1-q \).
Antonio decide di adottare la seguente strategia: gioca la prima partita in maniera offensiva. Se perde, gioca anche la seconda in maniera offensiva, mentre se vince gioca la seconda partita in maniera difensiva.
a) Calcolare, in termini di \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle q \), la probabilità \(\displaystyle p_{*} \) che Antonio vinca la gara.
Io ho ragionato così: si tratta in sostanza di capire come Antonio può vincere la gara, e quindi associare una probabilità ai vari eventi. Mi risulta che \[\displaystyle p_{*}=P(\text{Antonio vince la prima e pareggia la seconda}) + \] \[\displaystyle P(\text{Antonio vince la prima, perde la seconda ma vince con la moneta}) +\] \[\displaystyle P(\text{Antonio perde la prima, ma vince la seconda e con la moneta}) \]
cioè \[\displaystyle p_{*}=p \cdot q + \frac{1}{2}p \cdot (1-q) + \frac{1}{2} (1-p) \cdot p \]
Va bene?
Antonio e Berta si incontrano per una gara di scacchi. Convengono di fare due partite, assegnando punti nel solito modo, cioè un punto per ogni partita vinta, zero punti per partite perse, mezzo punto in caso di pareggio o patta. Se dopo le due partite i due giocatori hanno uguale punteggio, lanceranno una moneta equilibrata per determinare il vincitore della gara. Antonio sa giocare con due diversi approcci, uno offensivo e uno difensivo, mentre Berta gioca sempre in maniera offensiva. Se Antonio gioca in maniera offensiva, vince con probabilità \(\displaystyle p \in (0,1] \) e perde con probabilità \(\displaystyle 1-p \). Se invece gioca in maniera difensiva, pareggia con probabilità \(\displaystyle q \in (0,1] \) e perde con probabilità \(\displaystyle 1-q \).
Antonio decide di adottare la seguente strategia: gioca la prima partita in maniera offensiva. Se perde, gioca anche la seconda in maniera offensiva, mentre se vince gioca la seconda partita in maniera difensiva.
a) Calcolare, in termini di \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle q \), la probabilità \(\displaystyle p_{*} \) che Antonio vinca la gara.
Io ho ragionato così: si tratta in sostanza di capire come Antonio può vincere la gara, e quindi associare una probabilità ai vari eventi. Mi risulta che \[\displaystyle p_{*}=P(\text{Antonio vince la prima e pareggia la seconda}) + \] \[\displaystyle P(\text{Antonio vince la prima, perde la seconda ma vince con la moneta}) +\] \[\displaystyle P(\text{Antonio perde la prima, ma vince la seconda e con la moneta}) \]
cioè \[\displaystyle p_{*}=p \cdot q + \frac{1}{2}p \cdot (1-q) + \frac{1}{2} (1-p) \cdot p \]
Va bene?
"Delirium":
cioè \[\displaystyle p_{*}=p \cdot q + \frac{1}{2}p \cdot (1-q) + \frac{1}{2} (1-p) \cdot p \]
Va bene?
di nuovo impeccabile
Grazie di nuovo.
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