[EX] Lancio Dadi

[Lumcreative]

Con quale probabilità si è costretti a lanciare 12 volte un dado per ottenere tre uscite del numero 3?

Io ho utilizzato il modello binomiale negativo con y=9 ed m=3, e mi trovo una probabilità pari al 5% secondo voi è corretto?

Ho pensato che magari bastava semplicemente fare $ (1/6)^3 * (5/6)^9 $ ma cosi calcolavo la probabilità di una qualsiasi delle combinazioni di "esce 3" tre volte e "non esce 3" nove volte. L'esercizio, per come lo interpretato io chiede proprio qual'è la probabilità che nei primi 11 lanci il tre è uscito solo 2 volte e che poi esce al dodicesimo.

Ho le idee molto confuse.

Spero voi me le riusciate a chiarire.

Anticipatamente vi ringrazio.

[hamming_burst]

"Lumcreative":Con quale probabilità si è costretti a lanciare 12 volte un dado per ottenere tre uscite del numero 3?

Io ho utilizzato il modello binomiale negativo con y=9 ed m=3, e mi trovo una probabilità pari al 5% secondo voi è corretto?

Cosa di getto, ti direi che è corretto la questione della bin negativa, anche se io ragiono meglio con la Binomiale classica $X \sim \text{Bin}(12,1/6)$ dove $P(X=3)$.
ma se si legge meglio:

Con quale probabilità si è costretti a lanciare 12 volte un dado per ottenere tre uscite del numero 3?

dipende dai punti di vista e dalla giusta semantica del testo, come dice Rggb (un utente): è questione di lana caprina.

Questa tua interpretazione:

"Lumcreative":L'esercizio, per come lo interpretato io chiede proprio qual'è la probabilità che nei primi 11 lanci il tre è uscito solo 2 volte e che poi esce al dodicesimo.

è derivata dalla frase sottolineata. Sembra una posizione corretta, ma ti rispondo domani con più sicurezza, così ci ragiono se ho la mente più fresca.

[Umby2]

"Lumcreative":

Ho pensato che magari bastava semplicemente fare $ (1/6)^3 * (5/6)^9 $ ma cosi calcolavo la probabilità di una qualsiasi delle combinazioni di "esce 3" tre volte e "non esce 3" nove volte.

avresti comunque dovuto moltiplicare per c(12,3)

[Umby2]

"Lumcreative":
L'esercizio, per come lo interpretato io chiede proprio qual'è la probabilità che nei primi 11 lanci il tre è uscito solo 2 volte e che poi esce al dodicesimo.

Penso anche io che il testo intenda questo, anche se io eliminerei "che poi esce al dodicesimo",
in altre parole mi limiterei a calcolare la p che nei primi 11 lanci il 3 è uscito solo 2 volte, senza imporre che il dodicesimo lancio sia un 3.

[Lumcreative]

Ragazzi ci ho riflettuto anche io oggi e credo di essere arrivato alla risposta: il modello binomiale negativo è corretto! E vi spiego perchè: la probabilità di essere COSTRETTI a lanciare un dado 12 volte per ottenere tre uscite del numero 3 non è altro che la probabilità che nei primi 11 lanci ho ottenuto solo due uscite del numero 3 e che solo al dodicesimo lancio ottengo la terza uscita del 3. Quindi su due piedi uno direbbe che la probabilità è $ (1/6)^3 * (5/6)^9 $ quello che però manca in questa formulazione è che a noi NON interessa in che sequenza escono i primi 2 tre nei primi 11 lanci di conseguenza dobbiamo moltiplicare per tutte le possibili combinazioni di 2 uscite del 3 su 11 tiri totali (ottenendo cosi la formulazione del binomiale negativo). Altro modo, equivalente è quello di utilizzare il modello binomiale per n=11 ed y=2 (ovvero tutte le possibili combinazioni di due 3 e 9 numeri diversi dal 3 indipendentemente dall'ordine in cui escono negli undici lanci) e moltiplicarlo per 1/6 ovvero per la probabilità che l'ultimo lancio mi dia 3 (ottenendo cosi, ancora una volta, la formulazione del modello binomiale negativo). Spero di essere stato chiaro e che concordiate. Grazie mille per l'aiuto!