[EX] Estremi integrazione ripartizione
Ciao, amici! Mi sono accorto di aver sbagliato qualcosa nel calcolo della densità di probabilità della potenza $W=I^2R$ conoscendo la densità delle variabili aleatorie indipendenti intensità della corrente $I$ e resistenza del conduttore $R$\[f_I(x)=6x(1-x),0\leq x\leq 1\]\[f_R(y)=2y,0\leq y\leq 1\]
Io avrei proceduto così:
\[P(W\leq w)=P\Big(I\leq\sqrt{\frac{w}{y}}\Big)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{w/y}} 2y\cdot 6x(1-x)\text{d}x\text{d}y\]\[=\int_{0}^{1}6w-4w^{3/2}y^{-1/2}\text{d}y=6w-8w^{3/2}\]
da cui la densità della potenza \(\frac{\text{d}}{\text{d}w}P(W\leq w)=6-12\sqrt{w}\).
Mi accorgo che \(\int_{0}^{1}6-12\sqrt{w}\text{d}w=-2\) invece di $1$ come dovrebbe essere.
Qualcuno sarebbe così gentile da farmi capire dove sbaglio?
Ho trovato qui a p. 3 una soluzione proprio del mio esercizio (dal Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze), ma non capisco perché si siano considerati quegli estremi di integrazione con quell'integrale "spezzato" in due parti (di cui oltretutto non mi torna neppure il conto...
)
$\infty$ grazie a tutti!!!
Io avrei proceduto così:
\[P(W\leq w)=P\Big(I\leq\sqrt{\frac{w}{y}}\Big)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{w/y}} 2y\cdot 6x(1-x)\text{d}x\text{d}y\]\[=\int_{0}^{1}6w-4w^{3/2}y^{-1/2}\text{d}y=6w-8w^{3/2}\]
da cui la densità della potenza \(\frac{\text{d}}{\text{d}w}P(W\leq w)=6-12\sqrt{w}\).
Mi accorgo che \(\int_{0}^{1}6-12\sqrt{w}\text{d}w=-2\) invece di $1$ come dovrebbe essere.
Qualcuno sarebbe così gentile da farmi capire dove sbaglio?
Ho trovato qui a p. 3 una soluzione proprio del mio esercizio (dal Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze), ma non capisco perché si siano considerati quegli estremi di integrazione con quell'integrale "spezzato" in due parti (di cui oltretutto non mi torna neppure il conto...
)$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Ovviamente sto sbagliando qulcosa nell'impostare l'integrale. Mi è chiaro che\[P(I^2R\leq w)=\int\int_{\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]:x^2y\leq w\}}f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y\]
La soluzione che trovo qui, cioè $\int_{0}^{\sqrt{w}}\int_{0}^{1}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x+\int_{\sqrt{w}}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x$, usa il dominio di integrazione \([0,\sqrt{w}]\times[0,1]\cup[\sqrt{w},1]\times[0,w/x^2]\). Capisco che è perché si considera la somma della probabilità che $I^2R=W$ sia minore o uguale a $w$ nel caso che $I$ varia da 0 a $\sqrt{w}$ e $R$ è invece libera di variare da 0 a 1 sia nel caso che, pur essendo l'intensità $I$ maggiore o uguale a \(\sqrt{w}\) ed arrivando a toccare l'estremo superiore 1, $R$ può variare tra 0 e $w/x^2$, sicché tutti i casi sono "coperti".
Non riesco però a capire perché non sia ugualmente valido (e non lo è) $\int\int_{\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]:x^2y\leq w\}}f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{w/y}} f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y=$
$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x$ (notare l'ordine di integrazione)
dove, anzi, l'ultimo integrale non converge neppure. Richiedere che $x\leq\sqrt{w/y}$ lasciando $y$ libera di variare su $(0,1]$ oppure richiedere che $y\leq w/x^2$ lasciando variare $x$ su $(0,1]$ non è la stessa cosa di integrare sui due domini \([0,\sqrt{w}]\times[0,1]\) e $[\sqrt{w},1]\times[0,w/x^2]$, affinché $x^2y\leq w$?
È chiaro che sto commettendo un errore teorico.
Qualcuno sarebbe così gentile da indicarmi quale?
Grazie di cuore a tutti!!!
EDIT: Credo di esserci: in \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{w/y}} f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y\) e \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x\) non ho in realtà tenuto conto rispettivamente che $x$ e $y$ non possono essere $>1$.
Non rispondo a me stesso con l'apposito tasto per non bumpare, ma sarei $\infty$-mente grato a chi mi dicesse "sì, hai capito" o "no, stai ancora sparando c***ate"...
Qui a p. 3, anche se mi sono convinto di come sono definiti gli estremi di integrazione, vedo comunque qualcosa che non mi convince nel calcolo dell'integrale, ma si tratta solo di conti.
La soluzione che trovo qui, cioè $\int_{0}^{\sqrt{w}}\int_{0}^{1}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x+\int_{\sqrt{w}}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x$, usa il dominio di integrazione \([0,\sqrt{w}]\times[0,1]\cup[\sqrt{w},1]\times[0,w/x^2]\). Capisco che è perché si considera la somma della probabilità che $I^2R=W$ sia minore o uguale a $w$ nel caso che $I$ varia da 0 a $\sqrt{w}$ e $R$ è invece libera di variare da 0 a 1 sia nel caso che, pur essendo l'intensità $I$ maggiore o uguale a \(\sqrt{w}\) ed arrivando a toccare l'estremo superiore 1, $R$ può variare tra 0 e $w/x^2$, sicché tutti i casi sono "coperti".
Non riesco però a capire perché non sia ugualmente valido (e non lo è) $\int\int_{\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]:x^2y\leq w\}}f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{w/y}} f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y=$
$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x$ (notare l'ordine di integrazione)
dove, anzi, l'ultimo integrale non converge neppure. Richiedere che $x\leq\sqrt{w/y}$ lasciando $y$ libera di variare su $(0,1]$ oppure richiedere che $y\leq w/x^2$ lasciando variare $x$ su $(0,1]$ non è la stessa cosa di integrare sui due domini \([0,\sqrt{w}]\times[0,1]\) e $[\sqrt{w},1]\times[0,w/x^2]$, affinché $x^2y\leq w$?
È chiaro che sto commettendo un errore teorico.
Qualcuno sarebbe così gentile da indicarmi quale?
Grazie di cuore a tutti!!!
EDIT: Credo di esserci: in \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{w/y}} f_I(x)f_R(y)\text{d}x\text{d}y\) e \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x\) non ho in realtà tenuto conto rispettivamente che $x$ e $y$ non possono essere $>1$.
Non rispondo a me stesso con l'apposito tasto per non bumpare, ma sarei $\infty$-mente grato a chi mi dicesse "sì, hai capito" o "no, stai ancora sparando c***ate"...
Qui a p. 3, anche se mi sono convinto di come sono definiti gli estremi di integrazione, vedo comunque qualcosa che non mi convince nel calcolo dell'integrale, ma si tratta solo di conti.
non penso ti servano ulteriori giri di parole: http://www-stat.stanford.edu/~jtaylo/co ... ution7.pdf pag.6 è più comprensibile con il classico scambio di variabilli (che utilizzi anche te). Il primo pezzo è un risultato generale (specializzato al caso di innalzamento al quadrato) della v.a. prodotto.
per quanto riguarda:
non capisco che diamine di proprietà utilizzi. Comprendo la suddivisione del dominio di esistenza, ma la somma in quel punto del calcolo non riesco a capirla, forse è l'unione di dei due domini...mah, mistero.
per quanto riguarda:
\(\int_{0}^{\sqrt{w}}\int_{0}^{1}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x+\int_{\sqrt{w}}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x\)
non capisco che diamine di proprietà utilizzi. Comprendo la suddivisione del dominio di esistenza, ma la somma in quel punto del calcolo non riesco a capirla, forse è l'unione di dei due domini...mah, mistero.
$\int_{0}^{\infty} grazie\text{d}x$!!! 
In effetti anche con l'integrale \(\int_{0}^{\sqrt{w}}\int_{0}^{1}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x+\int_{\sqrt{w}}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x\), che però io calcolo come $3w^2-8w^(3/2)+6w$, il conto per la densità torna.
Io vedrei quell'integrale come la somma
\(P(IR^2\leq w)=P(\{I\leq \sqrt{w}\}\cup(\{\sqrt{w}\leq I\leq 1\}\cap\{R\leq w/I^2 \}))=P(I\leq \sqrt{w})+P(\sqrt{w}\leq I\leq 1,R\leq w/I^2)\)
se anche questo non è un mio delirio...
In effetti anche con l'integrale \(\int_{0}^{\sqrt{w}}\int_{0}^{1}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x+\int_{\sqrt{w}}^{1}\int_{0}^{w/x^2}f_I(x)f_R(y)\text{d}y\text{d}x\), che però io calcolo come $3w^2-8w^(3/2)+6w$, il conto per la densità torna.
Io vedrei quell'integrale come la somma
\(P(IR^2\leq w)=P(\{I\leq \sqrt{w}\}\cup(\{\sqrt{w}\leq I\leq 1\}\cap\{R\leq w/I^2 \}))=P(I\leq \sqrt{w})+P(\sqrt{w}\leq I\leq 1,R\leq w/I^2)\)
se anche questo non è un mio delirio...
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