[EX] Esercizi combinatoria
Ciao, amici! Si hanno 5 colori diversi di ovetti di cioccolato con cui confezionare cestini che ne contengano 6 in tutto.
Il mio testo dice che vi sono \(\binom{5+4}{4}\) modi diversi di confezionare cestini con esattamente un ovetto blu, \(\binom{4+3}{3}\) modi di confezionare cestini con esattamente 2 ovetti gialli e \(\binom{3+3}{3}\) modi di formare cestini che abbiano esattamente 2 ovetti gialli e 1 blu.
A me sarebbe sembrato che bisogna trovare il numero di soluzioni naturali di un'equazione della forma\[x_1+x_2+...+x_n=k\]che so essere \(\binom{n-1+k}{k}=\binom{n-1+k}{n-1}\), ponendo rispettivamente nei tre casi $n=4,k=6-1=5$ (considero il numero $n$ di incognite e sottraggo alla quantità totale di ovetti il numero di ovetti fissato per il colore blu), poi $n=4,k=6-2=4$ (analogamente) e infine $n=3,k=6-1-2=3$, cioè avrei calcolato rispettivamente \(\binom{5+3}{3}\), \(\binom{4+3}{3}\) e \(\binom{2+3}{2}=\binom{2+3}{3}\).
Che cosa c'è che non va?
Un secondo esercizio apparentemente banale la mia soluzione del quale non è la stessa data dal libro è quello in cui si propone di calcolare quante tabelle distinte si possono formare con $6\times 4$ righe $\times$ colonne e 9 numeri distinti compresi tra 1 e 90, tabelle che mi sembrerebbero essere \(\binom{24}{9}\frac{90!}{81!}\) (scegliendo le 9 posizioni tra le 24 possibili e la sequenza di 9 numeri non ripetuti dai 90 possibili) mentre il libro dice \(\binom{24}{8}\frac{90!}{(90-9)!}\)...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Il mio testo dice che vi sono \(\binom{5+4}{4}\) modi diversi di confezionare cestini con esattamente un ovetto blu, \(\binom{4+3}{3}\) modi di confezionare cestini con esattamente 2 ovetti gialli e \(\binom{3+3}{3}\) modi di formare cestini che abbiano esattamente 2 ovetti gialli e 1 blu.
A me sarebbe sembrato che bisogna trovare il numero di soluzioni naturali di un'equazione della forma\[x_1+x_2+...+x_n=k\]che so essere \(\binom{n-1+k}{k}=\binom{n-1+k}{n-1}\), ponendo rispettivamente nei tre casi $n=4,k=6-1=5$ (considero il numero $n$ di incognite e sottraggo alla quantità totale di ovetti il numero di ovetti fissato per il colore blu), poi $n=4,k=6-2=4$ (analogamente) e infine $n=3,k=6-1-2=3$, cioè avrei calcolato rispettivamente \(\binom{5+3}{3}\), \(\binom{4+3}{3}\) e \(\binom{2+3}{2}=\binom{2+3}{3}\).
Che cosa c'è che non va?
Un secondo esercizio apparentemente banale la mia soluzione del quale non è la stessa data dal libro è quello in cui si propone di calcolare quante tabelle distinte si possono formare con $6\times 4$ righe $\times$ colonne e 9 numeri distinti compresi tra 1 e 90, tabelle che mi sembrerebbero essere \(\binom{24}{9}\frac{90!}{81!}\) (scegliendo le 9 posizioni tra le 24 possibili e la sequenza di 9 numeri non ripetuti dai 90 possibili) mentre il libro dice \(\binom{24}{8}\frac{90!}{(90-9)!}\)...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
"DavideGenova":
... cioè avrei calcolato rispettivamente \(\binom{5+3}{3}\), \(\binom{4+3}{3}\) e \(\binom{2+3}{2}=\binom{2+3}{3}\).
Che cosa c'è che non va?
Non so cosa non vada, il tuo ragionamento mi sembra corretto... o forse sbagliamo entrambi(?) Curiosità: che testo è?
$\infty$ grazie, Rggb!!! È Calcolo discreto di C. Mariconda e A. Tonolo.
Avevo letto male il testo dell'esercizio e poi anche la soluzione, a pag. 4! (nel senso di pagina quattro, non di pag. 24 
) Con il vincolo \(x_1\geq \ell\) le soluzioni di \(x_1+x_2+...+x_n=k \) sono \(\binom{k-\ell+n-1}{n-1}\). Nel caso di cestini con esattamente 2 ovetti gialli e almeno un ovetto blu la soluzione è inalterata perché \(n=4,k=6-2,\ell=1\).
Per l'esercizio della tabella, il 4.22 qui, che cosa ne pensate?
$\infty$ grazie a Sergio e a chi voglia aggiungersi!!!!
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