[EX] distribuzione ipergeometrica e binominale
Ciao a tutti/e,
avrei bisogno di qualche chiarimento su un paio di esercizi:
1) Un gruppo di pazienti è composto da 30 soggetti di cui 18 maschi e 12 femmine. Si decide di effettuare un test clinico a 6 pazienti scelti a caso. Quale è la probabilità che il gruppo selezionato sia composto equamente di uomini e donne?
Per questo esercizio pensavo fosse corretto calcolare la probabilità attraverso la distribuzione ipergeometrica:
$ P(X=x)=(( (H), (k) )( (N-H), (n-k) ))/(( (N), (n) )) $
Calcolandola sia per il gruppo maschi che per il gruppo femmine per poi sommarle:
per i maschi N=30; H=18; k=3; n=6
per le femmine tutto uguale eccetto per H=12
So che la soluzione è 30,2% ma questo è il valore che mi risulta dal calcolo della probabilità dei due gruppi distinti (per entrambi risulta la solita probabilità).
Dove è che sbaglio?
2)E' stato rilevato che una medicina su 3000 pazienti ha prodotto effetti collaterali su 60. Essendo stata prescritta a 90 pazienti, il numero medio e la varianza dei pazienti che si prevede segnalino il disturbo previsto è:
Anche in questo caso pensavo si dovesse applicare la distribuzione ipergeometrica e calcolare media e varianza secondo le relative formule:
$ E(X)=nH/N; sigma ^2(X)=n(N-n)/(N-1)H/N^2(N-H) $
Per questo caso H=60; N=3000; n=90
ma come risultati ottengo media=1,8 (che sarebbe giusta) mentre varianza=1,71 (sbagliata, dovrebbe risultare anch'essa 1,8)
Si tratterebbe quindi di una distribuzione di Poisson? nel caso come mai?
3)È stato stimato che al pronto soccorso di un ospedale il 58% delle persone che si presentano hanno bisogno di medicazioni, il 40% ha bisogno di una visita e il restante 2% deve essere ricoverato di urgenza. Nell’arco di una giornata si presentano al pronto soccorso 250 persone. Qual è la probabilità che al massimo una di queste debba essere ricoverata?
In questo caso ritenevo di dover utilizzare la distribuzione binominale:
$ p_(n,k)=( (n), (k) )p^kq^(n-k) $
Ho calcolato la probabilità per k=1 e successivamente k=0 ( con n=250, p=0,02 e q=0,98) dopodichè ho sommato le due probabilità, ottenendo per k=1 (0,032678556) e per k=0 (0,006404997), la cui somma risulta: 0,039083552
Però il risultato dovrebbe essere: $ 6e^-5 $
Vi ringrazio in anticipo per ogni eventuale suggerimento
avrei bisogno di qualche chiarimento su un paio di esercizi:
1) Un gruppo di pazienti è composto da 30 soggetti di cui 18 maschi e 12 femmine. Si decide di effettuare un test clinico a 6 pazienti scelti a caso. Quale è la probabilità che il gruppo selezionato sia composto equamente di uomini e donne?
Per questo esercizio pensavo fosse corretto calcolare la probabilità attraverso la distribuzione ipergeometrica:
$ P(X=x)=(( (H), (k) )( (N-H), (n-k) ))/(( (N), (n) )) $
Calcolandola sia per il gruppo maschi che per il gruppo femmine per poi sommarle:
per i maschi N=30; H=18; k=3; n=6
per le femmine tutto uguale eccetto per H=12
So che la soluzione è 30,2% ma questo è il valore che mi risulta dal calcolo della probabilità dei due gruppi distinti (per entrambi risulta la solita probabilità).
Dove è che sbaglio?
2)E' stato rilevato che una medicina su 3000 pazienti ha prodotto effetti collaterali su 60. Essendo stata prescritta a 90 pazienti, il numero medio e la varianza dei pazienti che si prevede segnalino il disturbo previsto è:
Anche in questo caso pensavo si dovesse applicare la distribuzione ipergeometrica e calcolare media e varianza secondo le relative formule:
$ E(X)=nH/N; sigma ^2(X)=n(N-n)/(N-1)H/N^2(N-H) $
Per questo caso H=60; N=3000; n=90
ma come risultati ottengo media=1,8 (che sarebbe giusta) mentre varianza=1,71 (sbagliata, dovrebbe risultare anch'essa 1,8)
Si tratterebbe quindi di una distribuzione di Poisson? nel caso come mai?
3)È stato stimato che al pronto soccorso di un ospedale il 58% delle persone che si presentano hanno bisogno di medicazioni, il 40% ha bisogno di una visita e il restante 2% deve essere ricoverato di urgenza. Nell’arco di una giornata si presentano al pronto soccorso 250 persone. Qual è la probabilità che al massimo una di queste debba essere ricoverata?
In questo caso ritenevo di dover utilizzare la distribuzione binominale:
$ p_(n,k)=( (n), (k) )p^kq^(n-k) $
Ho calcolato la probabilità per k=1 e successivamente k=0 ( con n=250, p=0,02 e q=0,98) dopodichè ho sommato le due probabilità, ottenendo per k=1 (0,032678556) e per k=0 (0,006404997), la cui somma risulta: 0,039083552
Però il risultato dovrebbe essere: $ 6e^-5 $
Vi ringrazio in anticipo per ogni eventuale suggerimento
Risposte
1) se calcoli la probabilità che ci siano esattamente 3 maschi in un gruppo di 6 persone si deduce che ci saranno esattamente 3 femmine, quindi considerando uno qualsiasi dei due sessi ottieni la risposta che comprende già anche l'altro sesso.
"walter89":
1) se calcoli la probabilità che ci siano esattamente 3 maschi in un gruppo di 6 persone si deduce che ci saranno esattamente 3 femmine, quindi considerando uno qualsiasi dei due sessi ottieni la risposta che comprende già anche l'altro sesso.
ciao, grazie mille per aver risposto al primo esercizio,
una cosa però, quindi la probabilità di estrarre tre maschi è esattamente uguale alla probabilità di estrarre tre femmine, nonostante nella popolazione di riferimento la distribuzione dei due caratteri sia diversa?
grazie ancora
"pracy":
una cosa però, quindi la probabilità di estrarre tre maschi è esattamente uguale alla probabilità di estrarre tre femmine, nonostante nella popolazione di riferimento la distribuzione dei due caratteri sia diversa?
grazie ancora
SI. E' la stessa cosa. Semplicemente perchè stai calcolando "la stessa cosa"
Così come la p che ci siano 4M è la stessa di quella che ci siano 2F,
o quella che ci siano 6F è la stessa di quella che ci siano 0M.
[/quote]
SI. E' la stessa cosa. Semplicemente perchè stai calcolando "la stessa cosa"
Così come la p che ci siano 4M è la stessa di quella che ci siano 2F,
o quella che ci siano 6F è la stessa di quella che ci siano 0M.[/quote]
grazie anche te, scusate la banalità della mia domanda ma ero un pò confuso.
SI. E' la stessa cosa. Semplicemente perchè stai calcolando "la stessa cosa"
Così come la p che ci siano 4M è la stessa di quella che ci siano 2F,
o quella che ci siano 6F è la stessa di quella che ci siano 0M.[/quote]
grazie anche te, scusate la banalità della mia domanda ma ero un pò confuso.
"pracy":
grazie anche te, scusate la banalità della mia domanda ma ero un pò confuso.
per capire meglio,
potresti calcolarti le 7 p. possibili, e verificare che la somma sia 100%
"Umby":
per capire meglio,
potresti calcolarti le 7 p. possibili, e verificare che la somma sia 100%
ho seguito il tuo consiglio, grazie!
ho calcolato le probabilità per k=0,1,2,3,4,5,6 e la somma è 1 (100%)
per gli altri due esercizi invece avreste qualche suggerimento da propormi (ovviamente se vi va e avete tempo)..
in ogni caso ancora grazie mille
"pracy":
3)È stato stimato che al pronto soccorso di un ospedale il 58% delle persone che si presentano hanno bisogno di medicazioni, il 40% ha bisogno di una visita e il restante 2% deve essere ricoverato di urgenza. Nell’arco di una giornata si presentano al pronto soccorso 250 persone. Qual è la probabilità che al massimo una di queste debba essere ricoverata?
In questo caso ritenevo di dover utilizzare la distribuzione binominale:
$ p_(n,k)=( (n), (k) )p^kq^(n-k) $
Ho calcolato la probabilità per k=1 e successivamente k=0 ( con n=250, p=0,02 e q=0,98) dopodichè ho sommato le due probabilità, ottenendo per k=1 (0,032678556) e per k=0 (0,006404997), la cui somma risulta: 0,039083552
Però il risultato dovrebbe essere: $ 6e^-5 $
Vi ringrazio in anticipo per ogni eventuale suggerimento
Ciao, dovrei essere riuscito a risolvere il terzo esercizio proposto (rimarrebbe quindi solo il secondo), ma chiedo conferma al forum per sicurezza..
Essendo n>100 e la media relativa al numero dei ricoveri giornaliero (np) minore di 10 (250*0,02=5), è meglio approssimare la distribuzione binominale con quella di Poisson, pertanto la percentuale per k=1 e K=0 va calcolata con la relativa formula:
$ P(X=k)=(lambda ^k)/(k!)e^-lambda $
la somma delle due probabilità è uguale a $ 6e^-5 $
è corretto il mio ragionamento?
Si è corretto, in realtà ai fini del calcolo non è sbagliato usare la binomiale (più precisa), infatti se confronti i valori numerici sono molto vicini. Però lo scopo dell'esercizio credo sia appunto quello di fare le semplificazioni dove possibile.
"walter89":
Si è corretto, in realtà ai fini del calcolo non è sbagliato usare la binomiale (più precisa), infatti se confronti i valori numerici sono molto vicini. Però lo scopo dell'esercizio credo sia appunto quello di fare le semplificazioni dove possibile.
ancora grazie per l'aiuto.
l'ultimo esercizio lo chiederò direttamente al professore, quello non ci sono proprio arrivato.
Credo che anche per l'esercizio 2 sia richiesta qualche approssimazione
"walter89":
Credo che anche per l'esercizio 2 sia richiesta qualche approssimazione
già!! che scemo che sono!!
grazie al tuo suggerimento ho risolto..
"pracy":
2)E' stato rilevato che una medicina su 3000 pazienti ha prodotto effetti collaterali su 60. Essendo stata prescritta a 90 pazienti, il numero medio e la varianza dei pazienti che si prevede segnalino il disturbo previsto è:
Anche in questo caso pensavo si dovesse applicare la distribuzione ipergeometrica e calcolare media e varianza secondo le relative formule:
$ E(X)=nH/N; sigma ^2(X)=n(N-n)/(N-1)H/N^2(N-H) $
Per questo caso H=60; N=3000; n=90
ma come risultati ottengo media=1,8 (che sarebbe giusta) mentre varianza=1,71 (sbagliata, dovrebbe risultare anch'essa 1,8)
Si tratterebbe quindi di una distribuzione di Poisson? nel caso come mai?
inserisco lo svolgimento per chiarezza e qualora mai potesse essere utile a qualcun'altro/a (ne dubito visto che "duri" come me penso ce ne siano pochi
) essendo $ H
per cui $ p=H/N $ e di conseguenza $ q=1-p $; a questo punto basta applicare le formule per il calcolo della media e della varianza nella binominale:
$ E(X)=np=90*0,02=1,8; Var(X)=npq=1,8*0,98=1,76 $
grazie del prezioso aiuto e mi scuso se vi ho fatto perder tempo con queste cose per voi banali
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