[EX] convergenza di v.a.

[cooper1]

Siano $eta_0, eta_1, eta_2 ...$ una successione di variabili aleatorie reali indipendenti, ciascuna con legge $N (0, 1)$. Siano poi $X_0, X_1, ...$ definite dalla formula $X_n = eta_n +aeta_(n-1)+ ... + a^n eta_0, n>=0$ dove $a in RR$ è un parametro.
1. Mostrare che $X_n$ NON converge verso zero in $L^2$ per nessun valore di a.
2. Studiare la convergenza in legge di $X_n$ al variare di $a in RR$ e trovare l’eventuale limite.

[cooper1]

"arnett":piccola osservazione

grazie, ho corretto la svista
solo un paio di cose: essendo le $eta_i$ normali standard si ha $sigma^2 = 1$ e quindi la convergenza è ad una normale con varianza pari a $1/(1-a^2)$
in secondo luogo, dato che la traccia chiede la convergenza per $a in RR$, espliciterei cosa succede per $|a|>= 1$

[cooper1]

per il punto 2, quando $|a|>=1$ io vedo due comportamenti
$ lim_(n) \varphi(t)={(0,if t!=0),(1,if t=0):} $. poichè è discontinua concludiamo sempre per Lévy che non vi è convergenza.
spero di far bene gli altri due punti, adesso

3. chiamo $S:=(X_n)/(sqrtn)$
$\varphi_(S)(t)=\varphi_(X_n)(t/sqrtn)=exp{-t^2/(2n)sum_(i=0)^(n)a^(2i)}$
se $|a|<1$ questa tende ad 1, che è la funzione caratteristica di 0. quindi si ha convergenza in legge ed in probabilità (perchè costante) a 0. con lo stesso ragionamento di prima concludo invece che non si ha convergenza per $|a|>=1$
$E[|S|^p]=1/n^(p/2)E[X_n^p]->0, AAp>=1$ in quanto i momenti di una gaussiana sono finiti.
per la convergenza quasi certa invece stimo la serie $sum_n P(X_n >epsilon sqrtn)$. anzitutto standardizzo ed applico poi questa maggiorazione così da avere
$sum_n P(X_n >sqrtn epsilon) = sum_n 1-Phi(n^(3/2)epsilon (1-a^2)) <= sum_n 1/(2pi epsilon (1-a^2))1/sqrtn e^(-(epsilon^2 (1-a^2)^2)/2 n^3)$ che risulta convergente per via dell'esponenziale e quindi la convergenza è anche quasi certa.
4.
questo in realtà l'avrei risolto con gli stessi argomenti e le stesse conclusioni del punto 3.

[cooper1]

"arnett":Il terzo punto mi sembra giusto

per fortuna perchè sono stato assalito da mille dubbi

"arnett":non capisco come scrivi la maggiorazione

come varianza delle $X_n$ ho considerato la somma della serie e non le somme parziali. ho pensato questo: se si ha convergenza deve essere $|a|<1$ e per questi valori se $n->+oo$ la varianza è $1/(1-a^2)$ e quindi ho considerato questa nella standardizzazione

"arnett":Per il quattro

non concordo con la funzione caratteristica che hai scritto. mi sembra la f.c. di $sum_i (a^i)/(a^n) eta_i$ che però è diversa dalle $X_n$ perchè sono scambiati i pedici delle $eta_i$ e delle $a^i$ (mi spiego meglio: quando ho $eta_0$ non ho $a^0$ ma $a^n$. serve forse una doppia sommatoria per trattarli ma secondo me si complicano le cose). io userei la funzione caratteristica delle $X_n$ e quindi farei
$\varphi_(X_n)(t/(a^n))=exp{-(t^2)/(2a^(2n))sum_(i=0)^(n)a^(2i)}->_(n->+oo) exp{-(t^2)/(2a^(2n))1/(1-a^2)}=1$ quando $|a|<1$
mentre risulta discontinua per le altre a.
EDIT: in realtà no perchè ho invertito le a mi ritrovo con la tua soluzione adesso!

[cooper1]

propongo quindi questa soluzione per il 4. ho notato anzitutto che non serve la doppia sommatoria ma si ha:
$X_n=sum_i a^(n-i)eta_i$. dunque la funzione caratteristica risulterebbe $\varphi_(eta_i)(ta^(n-i-n))=exp{-t^2/2 sum_i a^(-2i)}$ che converge se $|a|>1$ alla funzione caratteristica di $N(0,a^2/(a^2-1))$
per le altre a si ha la solita discontinuità. credo così che possa andare, concordi?

[cooper1]

hai ragione, sono stato troppo precipitoso. grazie del chiarimento!

[cooper1]

"arnett":Alla fine io avevo fatto fin da subito una permutazione abusiva degli ai che è in qualche senso intuitivo legittimata dal fatto che siccome le ηi sono iid non importa a quale ηi io appiccichi il singolo ai, basta che ci siano tutti.

ah non lo sapevo, buono a sapersi per il futuro allora!

"arnett":Tra l'altro credo di avere già visto in giro qualche volta (ma non ricordo più dove) una successione del genere e c'è un motivo se gli indici vanno a ritroso: la formulazione che conoscevo era definita per ricorrenza da X0=η0, Xn+1=aXn+ηn. C'era anche un modello fisico dietro, ma non me lo ricordo più, sembra una sorta di passeggiata aleatoria accelerata o decelerata.

interessante. provo a vedere se ho fortuna nel ripescare il modello