[EX] calcolo combinatorio: quale delle tre soluzioni?

[iduccia_24]

nove libri (3di matematica 3di zoologia e 3 di chimica) si devono disporre su uno scaffale che può contenerne solo 5. In quanti modi è possibile farlo se si vuole che ogni materia sia rappresentata e che 2 volumi di una stessa materia non capitino mai vicini?

SOLUZIONE A
per il primo libro ho 9 possibilità, mentre per il secondo ce ne sono obbligatoriamente 6, perchè deve essere uno dei 6 libri rimasti della materia diversa dal primo libro che è stato scelto.

la terza scelta puo ricadere sia su uno dei tre libri di materia diversa dai primi due scelti, oppure su uno dei due rimasti della stessa materia del primo scelto. in totale sono 3 + 2 = 5 scelte, ma bisogna dividere in piu casi:

1)
il primo e il terzo libro sono della stessa materia,
per il quarto ci sono quindi 2 + 3 = 5 possibilità

1.1)
il quarto è stato scelto della stessa materia del secondo, quindi sullo scaffale ci sono libri inerenti soltanto due materie per cui l'ultimo va scelto tra i 3 della materia rimanente

1.2)
il quarto non è della stessa materia del secondo, quindi per la quinta scelta restano 1 + 2 = 3 possibilità

2)
in questo caso il terzo è di materia diversa dai primi due libri scelti, quindi il quarto si puo scegliere tra 4 possibilità.

2.1)
il quarto è della stessa materia del primo, quindi per il quinto restano 2 + 2 = 4 possibilità

2.2)
il quarto è della stessa materia del secondo, quindi anche questa volta ci sono 4 possibilità

infine si sommano le possibilita dei vari casi

1.1 : 9*6*2*5*3
1.2 : 9*6*2*5*3
2.1 : 9*6*3*4*4
2.2 : 9*6*3*4*4

il totale fa: 2*9*6*2*5*3 + 2*9*6*3*4*4 = 5832

SOLUZIONE B
Ci sono 2970 probabilità perchè:

Nominando ABC i volumi di matematica, 123 Quelli di zoologia e XYZ quelli di chimica si potrà avere.

A-1-B-2-C
A-1-B-2-X
A-1-B-2-Y
A-1-B-2-Z

A-1-B-3-C
A-1-B-3-X
A-1-B-3-Y
A-1-B-3-Z

A-1-B-X-2
A-1-B-X-3
A-1-B-X-C

Questi sono tutti quelli che cominciano con A-1-B, ma potrebbero cominciare anche con

A-1-C
A-1-X
A-1-Y
A-1-Z

A-2-B
A-2-C
A-2-X
A-2-Y
A-2-Z

A-3-B
A-3-C
A-3-X
A-3-Y
A-3-Z

A-X-1
A-X-2
A-X-3
A-X-B
A-X-C

A-Y-1
A-Y-2
A-Y-3
A-Y-B
A-Y-C

A-Z-1
A-Z-2
A-Z-3
A-Z-B
A-Z-C

Quindi per la A (e ognuno degli altri 8 libri con cui si può iniziare) ci sono 11x30=330 quindi 9x330=2970 possibilità.

SOLUZIONE C
Visto che ogni materia deve essere rappresentata, le materie dei 5 libri si possono scegliere in due modi:
(a) 3+1+1
(b) 2+2+1

Analizziamo il modo 3+1+1.
I libri, in base alla materia, possono essere disposti in un sol modo:
A B A C A
(NOTA: A B A C A , A C A B A indicano la stessa disposizione di materie diverse: quella per cui nei posti 1, 3, 5 ho tre libri della stessa materia, nel posto 2 un libro di una seconda materia, nel posto 4 un libro di una terza materia).
Le materie A, B, C si possono scegliere in 3! modi; i tre libri A si possono scegliere in 3! modi, il B in 3 modi, il C in 3 modi:
totale modi 3+1+1 = 3!•3!•3•3 = 324

Analizziamo il modo 2+2+1
I libri, in base alla materia, possono essere disposti in 6 modi:

A B C B C
B A C B C
B C A B C
B C A C B
B C B A C
B C B C A

facilmente determinabili sistemando per primo la materia che ha un solo libro, indicata con A.
(NOTA: Scambiando B con C, si ottengono le stesse disposizioni di materie diverse: A B C B C , A C B C B indicano la stessa disposizione di materie diverse, B A C B C , C A B C B indicano la stessa disposizione di materie diverse, ecc.)
Le materie A, B, C si possono scegliere in 3! modi; il libro A si può scegliere in 3 modi, i due libri B in 3•2 modi, i due libri C in 3•2 modi:
totale modi 2+2+1 = 6•3!•3•3•2•3•2 = 3888

324 + 3888 = 4212

SONO TRE RISULTATI DIVERSI

[Bfilos1]

Partendo dalla soluzione B, essa risulta sbagliata perchè hai tenuto conto anche di soluzioni in cui non compare nessun libro di una determinata materia... Per esempio A-1-B-2-C non è da considerare, perchè in questa combinazione non compare nessun libro di chimica, e invece dovrebbe comparire almeno un libro per materia. In più hai dimenticato alcune soluzioni, dunque la B è sbagliata non tanto come metodo quanto come ragionamento nel contare le possibilità.
Per quanto riguarda la soluzione A, io ho ragionato in modo diverso... Il primo libro può essere scelto tra 9 libri e il secondo libro tra 6 libri(di una delle due materie diverse da quella del primo libro), e fino a qui la situazione è chiara...
A questo punto devo scegliere il 3 libro...
-Caso 1: il 3 libro è della materia del primo libro... Quindi ho 2 possibilità, visto che ci sono 3 libri per materia e uno l'ho già scelto per il primo libro...
Scelgo il 4 e il 5 libro
Caso 1a: il 4 libro è della materia del secondo libro(2 possibilità), dunque il quinto libro sarà necessariamente della materia non ancora scelta(3possibilità)... In questo caso le combinazioni sono 9*6*2*2*3...
Caso 1b: il 4 libro è della materia non ancora scelta(3 possibilità), mentre il quinto libro sarà della prima o della seconda materia( dunque 1+2=3 possibilità). In questo caso le combinazioni sono 9*6*2*3*3
-Caso 2: il 3 libro è della materia non ancora scelta (3 possibilità), il 4 libro deve essere scelto tra la materia del primo e del secondo libro( 4 possibiltà), Il quinto, di conseguenza, ha ancora 4 possibilità di scelta. Le combinazioni sono 9*6*3*4*4
In totale Combinazioni=9*6*(2*2*3+2*3*3+3*4*4)=9*6*78=4212
La soluzione C, invece, mi sembra corretta e ben fatta... In più il risultato combacia con il mio trovato con il metodo A

[iduccia_24]

Ti ringrazio
allora vada per la soluzione C!!