Eventi probabilisticamente equivalenti
Devo descrivere se questi 2 metodi di inserimento di una pallina in una scatola sono prob. equivalenti, sqpendo che:
Ho $n$ scatole e conosco la seguente distribuzione t.c. al numero $i$ corrisponde probabilità $P_i$ con $i=1,2,...,n$
1) Scelgo una scatola $i$ con probabilità $P_i$ e in quella metto la pallina.
2) Scelgo a priori un numero $i$ estraggo una carta da un mazzo di $n$ carte numerate (mischiate), se ho estratto la carta con il numero $i$ allora si inserisce la pallina nella i-esima scatola con probabilità $P_i$, se non ho indovinato rimetto la carta nel mazzo rimescolo le carte e ripeto l'operazione.
Ora io mi sono detto che tutta questa storia del mazzo di carte è puramente pleonastica. Le cose cambierebbero non avessi reinserimento, ma in questo caso direi che sono probabilisticamente equivalenti.
Ho detto male? E matematicamente come lo posso mostrare?
Ho $n$ scatole e conosco la seguente distribuzione t.c. al numero $i$ corrisponde probabilità $P_i$ con $i=1,2,...,n$
1) Scelgo una scatola $i$ con probabilità $P_i$ e in quella metto la pallina.
2) Scelgo a priori un numero $i$ estraggo una carta da un mazzo di $n$ carte numerate (mischiate), se ho estratto la carta con il numero $i$ allora si inserisce la pallina nella i-esima scatola con probabilità $P_i$, se non ho indovinato rimetto la carta nel mazzo rimescolo le carte e ripeto l'operazione.
Ora io mi sono detto che tutta questa storia del mazzo di carte è puramente pleonastica. Le cose cambierebbero non avessi reinserimento, ma in questo caso direi che sono probabilisticamente equivalenti.
Ho detto male? E matematicamente come lo posso mostrare?
Risposte
E' corretto. Il mazzo di carte è fumo negli occhi ma non cambia nulla.
Matematicamente direi che l'estrazione del numero $i$ è una variabile a densità uniforme, cioè ogni numero è equiprobabile.
Ma anche la probabilità che la carta del mazzo sia uguale a $i$ è una variabile a densità uniforme.
Sono variabili indipendenti, la densità congiunta è il prodotto delle due, quindi un'altra distribuzione uniforme.
Matematicamente direi che l'estrazione del numero $i$ è una variabile a densità uniforme, cioè ogni numero è equiprobabile.
Ma anche la probabilità che la carta del mazzo sia uguale a $i$ è una variabile a densità uniforme.
Sono variabili indipendenti, la densità congiunta è il prodotto delle due, quindi un'altra distribuzione uniforme.
Sono d'accordo, Sergio. In effetti rileggendo il tutto, sembra che il significato di $P_i$ cambi nelle due situazioni, con e e senza mazzo di carte.
Ma allora non ho capito scusate...
Le situazioni sono probabilisticamente equivalenti se alla fine la probabilità che la pallina sia nella scatola $i$ è $P_i$.
Il primo caso mi va bene, in pratica ho un urna nella quale ci sono $n$ palline numerate, ogniuna con probabilità di essere estratta $P_i$, una volta che ho estratto metto l'oggetto nella scatola $i$.
Il secondo caso dove ho queste 2 urne con $n$ palline numerate, l'estrazione conicide con probabilità uniforme $1/n$, allora metto scelgo con probabilità $P_i$ la scatola $i$ numero estratto. Nei casi in cui l'estrazione non coincide riparto da capo, e ripeto finché non riesco ad avere la stessa estrazione e quindi mettere l'oggetto in una scatola con probabilità $P_i$.
Dunque alla fine sescelgo una scatola, l'oggetto è lì dentro con probabilità $P_i$... come nel primo caso.
L'esercizio richiede di verificare se i due modi di inserire l'oggegto in una scatol sono equivalenti.
Le situazioni sono probabilisticamente equivalenti se alla fine la probabilità che la pallina sia nella scatola $i$ è $P_i$.
Il primo caso mi va bene, in pratica ho un urna nella quale ci sono $n$ palline numerate, ogniuna con probabilità di essere estratta $P_i$, una volta che ho estratto metto l'oggetto nella scatola $i$.
Il secondo caso dove ho queste 2 urne con $n$ palline numerate, l'estrazione conicide con probabilità uniforme $1/n$, allora metto scelgo con probabilità $P_i$ la scatola $i$ numero estratto. Nei casi in cui l'estrazione non coincide riparto da capo, e ripeto finché non riesco ad avere la stessa estrazione e quindi mettere l'oggetto in una scatola con probabilità $P_i$.
Dunque alla fine sescelgo una scatola, l'oggetto è lì dentro con probabilità $P_i$... come nel primo caso.
L'esercizio richiede di verificare se i due modi di inserire l'oggegto in una scatol sono equivalenti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo