Eventi indipendenti , estrazione da una lista .Esercizio.
Salve , molti forse troveranno banale un esercizio del genere , ma la soluzione che il mio professore propone mi ha lasciato spiazzato.Sarà il tempo che stringe e di conseguenza la mia mente che vacilla 
....
"Si effettuano 3 estrazioni a casa da una lista che contiene 4 dati, di cui 1 errato.
Siano
A = {in al più di una delle prime 2 estrazioni si estrae il dato errato}
B= {nelle ultime 2 estrazioni si estrae almeno una volta il dato errato}
Stabilire se A e B sono eventi indipendenti
(i) nel caso di estrazioni con reinserimento.
(ii) nel caso di estrazioni senza reinserimento. "
Soluzione proposta
"Posto Ek = {nell’estrazione k-esima si estrae il dato errato} , k = 1, 2, 3, risulta
A = E1c ∪ E2c, B = E2 ∪ E3.
(i) Nel caso di estrazioni con rimpiazzamento si ha
P(A) = P(E1c) + P(E2c) - P(E1c ∩ E2c) = $ 3/4 + 3/4 - 3/4 * 3/4 = 15/16 $
P(B) = P(E2) + P(E3) − P(E2 ∩ E3) = $ 1/4 + 1/4 - 1/4 * 1/4 = 7/16 $
P(A ∩ B) = P(E1c ∩ E2 ∩ E3c) + P(E1c ∩ E2 ∩ E3) + P(E1c ∩ E2c ∩ E3) + P(E1 ∩ E2c ∩ E3) =
$ 3/4 * 1/4 * 3/4 + 3/4 * 1/4 *1/4 + 3/4 * 3/4 *1/4 + 1/4 *3/4 * 1/4 = 24/64 = 3/8 $
Essendo P(A ∩ B) != P(A)P(B) si ha che A e B non sono indipendenti.
(ii)Nel caso di estrazioni senza rimpiazzamento si ha
P(A) = P(E1 ∩ E2)c = 1 − P(E1)P(E2|E1) = 1 −1/4 · 0 = 1,
P(B) = P(E1 ∩ E2)c = 1 − P(E1c)P(E2c|E1c) = 1 −3/4 ·2/3=1/2
P(A ∩ B) =3/4 ·1/3 ·2/2+ 0 +3/4 ·2/3 ·1/2+ 0 =1/2
Essendo P(A ∩ B) = P(A)P(B), A e B sono indipendenti.
"
Dove Ekc si intende l'evento estrazione k-esemia non si estrae il dato errato.
Io non voglio contestare la soluzione del professore , ma mi preoccupa il fatto di aver pensato, appena dopo aver letto la traccia , che la soluzione fosse opposta e cioè che nella variante con reinserimento gli eventi fossero indipendenti e nella variante senza reinserimento fossero dipendenti, logicamente continuo a pensarla in questo modo !!! Se nella lista c'è un solo dato errato e viene estratto nella prima estrazione senza reinserimento come può avvenire l'evento B?Perchè il professore definisce P(B) = P(E2) + P(E3) − P(E2 ∩ E3) ?? L'evento B non si verifica anche quando E2 & E3 si verificano?
Spero di essere stato chiaro e che qualcuno mi sappia spiegare dove sbaglio
.... "Si effettuano 3 estrazioni a casa da una lista che contiene 4 dati, di cui 1 errato.
Siano
A = {in al più di una delle prime 2 estrazioni si estrae il dato errato}
B= {nelle ultime 2 estrazioni si estrae almeno una volta il dato errato}
Stabilire se A e B sono eventi indipendenti
(i) nel caso di estrazioni con reinserimento.
(ii) nel caso di estrazioni senza reinserimento. "
Soluzione proposta
"Posto Ek = {nell’estrazione k-esima si estrae il dato errato} , k = 1, 2, 3, risulta
A = E1c ∪ E2c, B = E2 ∪ E3.
(i) Nel caso di estrazioni con rimpiazzamento si ha
P(A) = P(E1c) + P(E2c) - P(E1c ∩ E2c) = $ 3/4 + 3/4 - 3/4 * 3/4 = 15/16 $
P(B) = P(E2) + P(E3) − P(E2 ∩ E3) = $ 1/4 + 1/4 - 1/4 * 1/4 = 7/16 $
P(A ∩ B) = P(E1c ∩ E2 ∩ E3c) + P(E1c ∩ E2 ∩ E3) + P(E1c ∩ E2c ∩ E3) + P(E1 ∩ E2c ∩ E3) =
$ 3/4 * 1/4 * 3/4 + 3/4 * 1/4 *1/4 + 3/4 * 3/4 *1/4 + 1/4 *3/4 * 1/4 = 24/64 = 3/8 $
Essendo P(A ∩ B) != P(A)P(B) si ha che A e B non sono indipendenti.
(ii)Nel caso di estrazioni senza rimpiazzamento si ha
P(A) = P(E1 ∩ E2)c = 1 − P(E1)P(E2|E1) = 1 −1/4 · 0 = 1,
P(B) = P(E1 ∩ E2)c = 1 − P(E1c)P(E2c|E1c) = 1 −3/4 ·2/3=1/2
P(A ∩ B) =3/4 ·1/3 ·2/2+ 0 +3/4 ·2/3 ·1/2+ 0 =1/2
Essendo P(A ∩ B) = P(A)P(B), A e B sono indipendenti.
"
Dove Ekc si intende l'evento estrazione k-esemia non si estrae il dato errato.
Io non voglio contestare la soluzione del professore , ma mi preoccupa il fatto di aver pensato, appena dopo aver letto la traccia , che la soluzione fosse opposta e cioè che nella variante con reinserimento gli eventi fossero indipendenti e nella variante senza reinserimento fossero dipendenti, logicamente continuo a pensarla in questo modo !!! Se nella lista c'è un solo dato errato e viene estratto nella prima estrazione senza reinserimento come può avvenire l'evento B?Perchè il professore definisce P(B) = P(E2) + P(E3) − P(E2 ∩ E3) ?? L'evento B non si verifica anche quando E2 & E3 si verificano?
Spero di essere stato chiaro e che qualcuno mi sappia spiegare dove sbaglio
Risposte
"wegax":
Perchè il professore definisce P(B) = P(E2) + P(E3) − P(E2 ∩ E3) ??
non lo definisce il tuo professore... questo si ha quando consideri l'unione di due eventi qualsiasi, l'ultimo termine lo puoi togliere solo se gli eventi sono indipendenti
"itpareid":
[quote="wegax"]Perchè il professore definisce P(B) = P(E2) + P(E3) − P(E2 ∩ E3) ??
non lo definisce il tuo professore... questo si ha quando consideri l'unione di due eventi qualsiasi, l'ultimo termine lo puoi togliere solo se gli eventi sono indipendenti[/quote]
non "indipendenti", ma incompatibili.
scusami, deve essere stata una svista, però temo che l'autore del topic possa confondersi ancora di più.
sì giusta correzione!
Ciao Ragazzi , allora anche io ho lo stesso esercizio , mi sa che abbiamo il prof in comune 
Per sapere Unisa? Comunque ho una domanda da fare su quest'esercizio.. Il Prof come fa a trovarsi P ( A ∩ B ) ? Perchè non capisco P(E1c ∩ E2 ∩ E3c) + P(E1c ∩ E2 ∩ E3) + P(E1c ∩ E2c ∩ E3) + P(E1 ∩ E2c ∩ E3) da dove se li è ricavati.. e lo stessa domanda anche per quelli senza rimpiazzamento. Ciao 
Per sapere Unisa? Comunque ho una domanda da fare su quest'esercizio.. Il Prof come fa a trovarsi P ( A ∩ B ) ? Perchè non capisco P(E1c ∩ E2 ∩ E3c) + P(E1c ∩ E2 ∩ E3) + P(E1c ∩ E2c ∩ E3) + P(E1 ∩ E2c ∩ E3) da dove se li è ricavati.. e lo stessa domanda anche per quelli senza rimpiazzamento. Ciao
benvenuto/a nel forum.
senti, provo a spiegarti come penso io, ma non entro nel merito delle notazioni usate da voi.
A: al più una volta nelle prime due estrazioni il dato è errato;
B: almeno una volta nelle ultime due estrazioni il dato è errato.
le estrazioni sono 1,2,3.
allora quali sono i casi distinti di $AnnB$ ?
il dato può essere errato nelle estrazioni: 1,3; 2; 2,3; 3.
quella che non ti spieghi dovrebbe essere la somma delle probabilità dei quattro eventi incompatibili.
spero di esserti stata d'aiuto. facci sapere. ciao.
senti, provo a spiegarti come penso io, ma non entro nel merito delle notazioni usate da voi.
A: al più una volta nelle prime due estrazioni il dato è errato;
B: almeno una volta nelle ultime due estrazioni il dato è errato.
le estrazioni sono 1,2,3.
allora quali sono i casi distinti di $AnnB$ ?
il dato può essere errato nelle estrazioni: 1,3; 2; 2,3; 3.
quella che non ti spieghi dovrebbe essere la somma delle probabilità dei quattro eventi incompatibili.
spero di esserti stata d'aiuto. facci sapere. ciao.
si più o meno ho capito , comunque grazie mille . ciao.
prego. ciao.
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