Eventi indipendenti

[manu.sevo]

se ho tre eventi stocasticamente indipendenti ( a, b, c, ) posso affermare che sono stocasticemente indipendenti anche a due a due tra loro ( es. a,b )

[Lo_zio_Tom]

ovviamente sì! Per rendersene conto basta utilizzare la definizione.

Dato lo spazio di probabilità $(Omega,mathcal(F),P)$

e presi gli eventi $A_1,A_2,...,A_n in mathcal(F)$

Gli eventi $A_i$ si dicono indipendenti se e solo se valgono contemporaneamente le seguenti

$P[A_i nn A_j]=P[A_i]P[A_j]" " AA i!=j$

$P[A_i nn A_j nn A_k]=P[A_i]P[A_j]P[A_k]" " AA i!=j; j!=k; i!=k$

....

$P(nn_(i=1)^nA_i)=Pi_(i=1)^nP(A_i) $

Per cui, presi 3 eventi $A,B,C$ per verificare che siano indipendenti non basta nemmeno verificare che

$P(A nn B nn C)=P(A)P(B)P(C)$ ma occorre anche verificare che lo siano a due a due...quindi a maggior ragione, se il testo ti dice che i 3 eventi sono stocasticamente indipendenti lo saranno anche a due a due...Ovviamente non vale il discorso inverso: l'indipendenza a due a due non implica che i 3 eventi siano indipendenti....

e ti faccio anche un esempio numerico con il lancio di una moneta:

$A:"Esce Testa al primo lancio"$

$B:"Esce Croce al primo lancio"$

$C: \emptyset$

Come puoi verificare

$P(A nn B nn C)=P(\emptyset)=0=P(A)P(B)P(C)$

ma gli eventi NON sono indipendenti in quanto, ad esempio

$P(A nn B)=P(\emptyset)=0 != P(A)P(B)=1/2*1/2=1/4$

spero di essermi spiegato bene