Estrazioni senza rimpiazzo e valore atteso

[unlikely]

In un processo di estrazioni senza rimpiazzo, da un'urna contenente $R$ palline rosse e $B$ palline bianche, detta $X_k$ la v.a. bernoulliana che indica l'estrazione di una pallina rossa durante la $k$-esima estrazione, mi risulta che la legge di $X_k$ non dipenda da $k$, ossia che ad ogni estrazione la probabilità di estrarre una pallina rossa costante. Questo poi è utile ad esempio per calcolare facilmente il valore atteso di una v.a. ipergeometrica. Ma come dimostrarlo in modo semplice ed elegante?

Grazie a tutti..

[unlikely]

Avevo pensato di osservare che $P[X_1]=R/(R+B)$, poi $P[X_2]=P[X_2|X_1]P[X_1] + P[X_2|X_1^c]P[X_1^c]$. Svolgendo i calcoli effettivamente si dovrebbe ottenere anche $P[X_2]=R/(R+B)$. Ma poi come si estende il risultato a $P[X_k]$ generico? Partizionare lo spazio campionario in base a tutti i possibili esiti delle estrazioni precedenti non mi sembra praticabile...

[cenzo1]

Propongo il seguente ragionamento, ma non ci metto la mano sul fuoco..

Diciamo che nell'urna ci sono $n$ palline rosse e $m$ palline non rosse. Totale $n+m$ palline.
Le estrazioni sono senza rimpiazzo, quindi potrò fare al più $n+m$ estrazioni, poi l'urna si è svuotata.
Una sequenza completa di estrazioni è quindi una sequanza del tipo $X_{1},X_{2},...,X_{k},...,X_{n+m}$

Casi possibili: $(n+m)!$ (tutti i modi di disporre le $n+m$ palline in altrettante posizioni)

Casi favorevoli: $n*(n+m-1)!$
Infatti nella posizione $k$ posso scegliere tra $n$ palline rosse.
Nelle restanti posizioni posso disporre le $n+m-1$ palline rimanenti in altrettanti posti.

Quindi risulterebbe $P(X_{k}=R)=(n*(n+m-1)!)/((n+m)!)=n/(n+m)$

[unlikely]

Sì, mi sembra convincente, grazie

[cenzo1]

Ti segnalo anche queste altre due dimostrazioni. Ciao