Estrazioni, massimi e probabilità
Ciao a tutti, ho un quesito a cui non so dare risposta
se estraggo un numero y da [1,100]
x è tale che p(x>=max(y))=0.5
Nel caso banale di una sola estrazione x è 50
1) nel caso di 2,3,4...z estrazioni?
2) qual è il valore atteso di max(y)?
p.s. Scusate la notazione informale ma credo che si comprenda lo stesso il significato
se estraggo un numero y da [1,100]
x è tale che p(x>=max(y))=0.5
Nel caso banale di una sola estrazione x è 50
1) nel caso di 2,3,4...z estrazioni?
2) qual è il valore atteso di max(y)?
p.s. Scusate la notazione informale ma credo che si comprenda lo stesso il significato
Risposte
Premetto che non so come si calcola il valore atteso del massimo, ma voglio calcolarlo.
In z estrazioni.
Per z=1 direi $E_1= 1/100*\sum_{i=1}^{100} i= 50,5$
ora al secondo lancio (z=2) è come se avessi la metà dei numeri che mi lasciano inalterato il valore atteso, e metà che me lo alzano. Io direi $E_2= 1/2*E_1+1/2* 1/50*\sum_{i=51}^{100} i= 63$...
E via cosí... Non so se si è capito.
In z estrazioni.
Per z=1 direi $E_1= 1/100*\sum_{i=1}^{100} i= 50,5$
ora al secondo lancio (z=2) è come se avessi la metà dei numeri che mi lasciano inalterato il valore atteso, e metà che me lo alzano. Io direi $E_2= 1/2*E_1+1/2* 1/50*\sum_{i=51}^{100} i= 63$...
E via cosí... Non so se si è capito.
Secondo me, si dovrebbe calcolare il valore corrispondente alla probabilità del 50%, cioè le coppie, terzine, quartine, ecc..., favorevoli rispetto a quelle totali possibili.
Nel caso di estrazioni con reintroduzione, i casi totali (su 100 numeri da 1 a 100) relativi a n estrazioni sono 100^n.
Con l'interpretazione che ho dato, il valore massimo che si ha in media è:
2 estrazioni = 70,71
3 estrazioni = 79,37
4 estrazioni = 84,09
5 estrazioni = 87,05
..................
In realtà il valore atteso è dato dalla somma dei valori possibili, ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.
Quindi (sempre su 100 numeri da 1 a 100), il valore atteso è:
1 estrazione = 50,5
2 estrazioni = 67,165
3 estrazioni = 75,4975
4 estrazioni = 80,4966...
Nel caso di estrazioni con reintroduzione, i casi totali (su 100 numeri da 1 a 100) relativi a n estrazioni sono 100^n.
Con l'interpretazione che ho dato, il valore massimo che si ha in media è:
2 estrazioni = 70,71
3 estrazioni = 79,37
4 estrazioni = 84,09
5 estrazioni = 87,05
..................
In realtà il valore atteso è dato dalla somma dei valori possibili, ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.
Quindi (sempre su 100 numeri da 1 a 100), il valore atteso è:
1 estrazione = 50,5
2 estrazioni = 67,165
3 estrazioni = 75,4975
4 estrazioni = 80,4966...
Grazie dei contributi.
Nel frattempo ci ho pensato anch'io e ottengo gli stessi risultati di nino. Ecco come ci sono arrivato io:
la probabilità che z estrazioni siano inferiori a x è (1-x)^z. poniamo il tutto = 0.5
x = 1-0.5^(1/z)
Il valore atteso non saprei
EDIT:aggiunto parentesi
Nel frattempo ci ho pensato anch'io e ottengo gli stessi risultati di nino. Ecco come ci sono arrivato io:
la probabilità che z estrazioni siano inferiori a x è (1-x)^z. poniamo il tutto = 0.5
x = 1-0.5^(1/z)
Il valore atteso non saprei
EDIT:aggiunto parentesi
Il valore atteso è dato dalla somma dei valori possibili della variabile ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.
Quindi occorre preparare una tabella con i casi possibili per i vari valori.
Es. $ z=2$ estrazioni
max(y)=1 ----> 1 caso (1 - 1)
max(y)=2 ----> 3 casi (1 - 2; 2 - 1; 2 - 2)
max(y)=3 ----> 5 casi (1 - 3; 3 - 1; 2 - 3; 3 - 2; 3 - 3)
.......
max(y)=100 ----> 199 casi
Determinare per ciascun evento la probabilità (dividendo i casi favorevoli che sono $ n^2-(n-1)^2 = 2n-1 $ per i casi totali che sono $100^z$) e quindi moltiplicare queste probabilità per i relativi valori della variabile (1, 2, 3, ..., 100).
La somma (che nel caso di $ z=2$ è $67,165$) è il valore atteso.
Lo stesso si può fare per $z=3$. I casi favorevoli sono ora $n^3-(n-1)^3$ e quelli totali $100^3$.
Ecc... per qualsiasi numero di estrazioni z.
Quindi occorre preparare una tabella con i casi possibili per i vari valori.
Es. $ z=2$ estrazioni
max(y)=1 ----> 1 caso (1 - 1)
max(y)=2 ----> 3 casi (1 - 2; 2 - 1; 2 - 2)
max(y)=3 ----> 5 casi (1 - 3; 3 - 1; 2 - 3; 3 - 2; 3 - 3)
.......
max(y)=100 ----> 199 casi
Determinare per ciascun evento la probabilità (dividendo i casi favorevoli che sono $ n^2-(n-1)^2 = 2n-1 $ per i casi totali che sono $100^z$) e quindi moltiplicare queste probabilità per i relativi valori della variabile (1, 2, 3, ..., 100).
La somma (che nel caso di $ z=2$ è $67,165$) è il valore atteso.
Lo stesso si può fare per $z=3$. I casi favorevoli sono ora $n^3-(n-1)^3$ e quelli totali $100^3$.
Ecc... per qualsiasi numero di estrazioni z.
Interessante la soluzione che uilizza l'approccio combinatrio, però nel caso di nueri reali non si può applicare.
Intendevo un'estrazione a sorteggio tipo tombola.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo