Estrazioni in urne senza reimmissione
Buonasera a tutti! Ho un problema nella risoluzione di questo quesito che tento di sintetizzare:
- Un'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5
- Un'urna S2 contiene palline con i numeri 2j+1 con j=0,...,7
Per n volte, dove n non è specificato nel testo, si sceglie a caso una delle due urne e si estrae una pallina senza successiva reimmissione.
1) La probabilità di estrarre k palline pari ( dove k non ha collegamento con il 2k delle pari) non è semplicemente (1/2)^n?
2) Se estraggo un numero di palline pari che è doppio di quelle dispari, la probabilità di questo evento non è (1/2)^3n?
3) Se n=3, qual è la probabilità che la somma dei numeri nelle palline estratte sia 33?
Nel terzo caso ho pensato che l'unica combinazione possibile fosse 10,10,13 ma ne ho poi trovata un'altra. Esiste un metodo più rapido per capirlo?
Sono nuovo nel forum quindi mi scuso per eventuali incomprensioni, grazie mille!
- Un'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5
- Un'urna S2 contiene palline con i numeri 2j+1 con j=0,...,7
Per n volte, dove n non è specificato nel testo, si sceglie a caso una delle due urne e si estrae una pallina senza successiva reimmissione.
1) La probabilità di estrarre k palline pari ( dove k non ha collegamento con il 2k delle pari) non è semplicemente (1/2)^n?
2) Se estraggo un numero di palline pari che è doppio di quelle dispari, la probabilità di questo evento non è (1/2)^3n?
3) Se n=3, qual è la probabilità che la somma dei numeri nelle palline estratte sia 33?
Nel terzo caso ho pensato che l'unica combinazione possibile fosse 10,10,13 ma ne ho poi trovata un'altra. Esiste un metodo più rapido per capirlo?
Sono nuovo nel forum quindi mi scuso per eventuali incomprensioni, grazie mille!
Risposte
"gianlu":
...Ho un problema nella risoluzione di questo quesito che tento di sintetizzare:
- Un'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5
- Un'urna S2 contiene palline con i numeri 2j+1 con j=0,...,7
premesso che senza il testo completo dell'esercizio difficilmente qualcuno perderà del tempo a pensarci....
1) se intendi che su k estrazioni avrai k palline pari allora sì. anche secondo me è così
2) direi più $((n),(n/3))(1/2)^n$ con $n=3,6,9,....$
3) di combinazioni che fanno 33 in 3 estrazioni ce ne sono un disastro. Ma supponiamo anche che sia solo 10-10-13. Come pensi di calcolare tale probabilità se non hai nemmeno specificato come sono composte le urne?
Ciao Tommik, grazie per aver risposto, scrivo qui il testo completo dell'esercizio e mi scuso per non averlo fatto prima:
"L'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5 e l'urna S2 contiene le palline numerate con i numeri 2j+1 con j=0,...,7. Pluto per n volte ripete il seguente procedimento: sceglie a caso una delle due urne ed estrae una pallina mettendola da parte( successivamente all'estrazione la pallina non viene reimmessa nell'urna). Calcolare la probabilità degli eventi: A="Pluto estrae k palline numerate con numeri pari", B="Pluto estrae un numero di palline numerate con numero pari che è il doppio di quelle numerate con numeri dispari". Si determini nel caso n=3 la probabilità che la somma dei numeri nelle palline estratte da Pluto sia 33."
Mi hai detto che non ho specificato la composizione delle urne, perchè? Credo che l'urna S1 contenga 5 palline (2,4,6,8,10) e l'urna S2 8 ( 1,3,5,7,9,11,13,15).
Grazie mille per l'aiuto e per la pazienza
"L'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5 e l'urna S2 contiene le palline numerate con i numeri 2j+1 con j=0,...,7. Pluto per n volte ripete il seguente procedimento: sceglie a caso una delle due urne ed estrae una pallina mettendola da parte( successivamente all'estrazione la pallina non viene reimmessa nell'urna). Calcolare la probabilità degli eventi: A="Pluto estrae k palline numerate con numeri pari", B="Pluto estrae un numero di palline numerate con numero pari che è il doppio di quelle numerate con numeri dispari". Si determini nel caso n=3 la probabilità che la somma dei numeri nelle palline estratte da Pluto sia 33."
Mi hai detto che non ho specificato la composizione delle urne, perchè? Credo che l'urna S1 contenga 5 palline (2,4,6,8,10) e l'urna S2 8 ( 1,3,5,7,9,11,13,15).
Grazie mille per l'aiuto e per la pazienza
"gianlu":
Mi hai detto che non ho specificato la composizione delle urne, perchè? Credo che l'urna S1 contenga 5 palline (2,4,6,8,10) e l'urna S2 8 ( 1,3,5,7,9,11,13,15).
Grazie mille per l'aiuto e per la pazienza
se le urne contengono solo una pallina per ogni numero il problema cambia totalmente....
"gianlu":
- Un'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5
- Un'urna S2 contiene palline con i numeri 2j+1 con j=0,...,7
dal testo precedente le urne potrebbero contenere anche 842.726 palline, divise non si sa come in palline del tipo
S1: 2,4,6,8,10
S2: 1,3,5,7,9,11,13,15
Hai ragione, ci ho pensato solo ora. A questo punto non credo che l'urna s1 ne contenga solo 5 ma, come mi hai fatto notare, tante numerate con i numeri 2,4,6,8,10 e stessa cosa per l'urna s2. Anche perché, sto pensando adesso, non ci sarebbe stato bisogno di indicizzare con k e j.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
io invece penso che abbia ragione tu ed il testo sia scritto male.
l'urna 1 contiene 5 palle pari e l'urna 2 8 palle dispari. Quindi senza reimmetterle nell'urna significa che Pluto fa al massimo 13 estrazioni. Così il problema è gestibile...
A questo punto ottieni subito
1) $(1/2)^k$ , $k=1,2,3,4,5$
2) $((3),(1))(1/2)^3$ se si fanno 3 estrazioni
2) $((6),(2))(1/2)^6$ se si fanno 6 estrazioni
3) calcoli tutte le combinazioni possibili...non è difficile e poi procedi come nei punti precedenti
ciao ciao
l'urna 1 contiene 5 palle pari e l'urna 2 8 palle dispari. Quindi senza reimmetterle nell'urna significa che Pluto fa al massimo 13 estrazioni. Così il problema è gestibile...
A questo punto ottieni subito
1) $(1/2)^k$ , $k=1,2,3,4,5$
2) $((3),(1))(1/2)^3$ se si fanno 3 estrazioni
2) $((6),(2))(1/2)^6$ se si fanno 6 estrazioni
3) calcoli tutte le combinazioni possibili...non è difficile e poi procedi come nei punti precedenti
ciao ciao
Finalmente sto iniziando a capire, grazie veramente! Una cosa però non mi è chiara, perchè P(A)=$(1/2)^k$ e non $(1/2)^n$?
io invece più leggo il testo e meno capisco....direi che così come è scritto non è univocamente risolvibile.
"L'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5 e l'urna S2 contiene le palline numerate con i numeri 2j+1 con j=0,...,7. Pluto per n volte ripete il seguente procedimento: sceglie a caso una delle due urne ed estrae una pallina mettendola da parte( successivamente all'estrazione la pallina non viene reimmessa nell'urna). Calcolare la probabilità degli eventi: A="Pluto estrae k palline numerate con numeri pari", B="Pluto estrae un numero di palline numerate con numero pari che è il doppio di quelle numerate con numeri dispari". Si determini nel caso n=3 la probabilità che la somma dei numeri nelle palline estratte da Pluto sia 33."
Ergo chiedi spiegazioni a chi te l'ha dato sull'interpretazione autentica.
"L'urna S1 contiene palline numerate con i numeri 2k con k=1,...,5 e l'urna S2 contiene le palline numerate con i numeri 2j+1 con j=0,...,7. Pluto per n volte ripete il seguente procedimento: sceglie a caso una delle due urne ed estrae una pallina mettendola da parte( successivamente all'estrazione la pallina non viene reimmessa nell'urna). Calcolare la probabilità degli eventi: A="Pluto estrae k palline numerate con numeri pari", B="Pluto estrae un numero di palline numerate con numero pari che è il doppio di quelle numerate con numeri dispari". Si determini nel caso n=3 la probabilità che la somma dei numeri nelle palline estratte da Pluto sia 33."
Ergo chiedi spiegazioni a chi te l'ha dato sull'interpretazione autentica.
Va benissimo, farò così allora.
Se può essere utile ai fini dello svolgimento, il problema aveva anche un'ultima richiesta: supposto che si verifichi l'evento C, cioè che la somma dei numeri nelle palline estratte da Pluto sia 33, determinare la probabilità che la prima pallina estratta da Pluto sia numerata con il numero 8.
Forse quest'ultima richiesta farebbe pensare di più al caso di un numero finito di palline, 5 nell'urna S1 e 8 nella S2, ma non è comunque chiaro.
Immagino che quest'ultima richiesta dovesse essere risolta con il Teorema di Bayes, ma non avendo calcolato la P(C) non ci sono riuscito.
Questo è comunque un problema d'esame di calcolo delle probabilità di tre giorni fa.
Quindi possiamo confermare che non è univocamente risolubile?
Grazie, grazie e ancora grazie!
Se può essere utile ai fini dello svolgimento, il problema aveva anche un'ultima richiesta: supposto che si verifichi l'evento C, cioè che la somma dei numeri nelle palline estratte da Pluto sia 33, determinare la probabilità che la prima pallina estratta da Pluto sia numerata con il numero 8.
Forse quest'ultima richiesta farebbe pensare di più al caso di un numero finito di palline, 5 nell'urna S1 e 8 nella S2, ma non è comunque chiaro.
Immagino che quest'ultima richiesta dovesse essere risolta con il Teorema di Bayes, ma non avendo calcolato la P(C) non ci sono riuscito.
Questo è comunque un problema d'esame di calcolo delle probabilità di tre giorni fa.
Quindi possiamo confermare che non è univocamente risolubile?
Grazie, grazie e ancora grazie!
prima di tutto è importante precisare che su questo forum non si conferma nulla; ciò che ti viene detto sono unicamente opinioni personali.
Ti ho detto che non è univocamente risolvibile perché evidentemente è un testo approssimativo e non ben scritto.
Se le urne non contengono palline uguali, e quindi abbiamo 5+ 8 palline ti ho anche spiegato come risolvere.
Il punto 3 in questa fattispecie diventa facile, dato che gli unici casi possibili sono che si estraggano le seguenti palle
5-13-15
7-11-15
8-10-15
9-11-13
in qualunque ordine
saluti
Ti ho detto che non è univocamente risolvibile perché evidentemente è un testo approssimativo e non ben scritto.
Se le urne non contengono palline uguali, e quindi abbiamo 5+ 8 palline ti ho anche spiegato come risolvere.
Il punto 3 in questa fattispecie diventa facile, dato che gli unici casi possibili sono che si estraggano le seguenti palle
5-13-15
7-11-15
8-10-15
9-11-13
in qualunque ordine
saluti
La probabilità del primo caso, 5-13-15, sarebbe quindi $3/(((8),(3)))$ ?
No. È
$1/(((8),(3))) (1/2)^3$
...ovviamente questa è la probabilità della terna, senza contare l'ordine.
Devi infatti considerare la probabilità di una specifica terna 5-13-15
$1/8*1/7*1/6$
moltiplicare tale probabilità per tutte le terne possibili con i numeri 5-13-15, ovvero $3!$
e moltiplicare il tutto per la probabilità di estrarre per 3 volte di seguito dall'urna 2 (quella con le palle dispari), ovvero $(1/2)^3$
$1/(((8),(3))) (1/2)^3$
...ovviamente questa è la probabilità della terna, senza contare l'ordine.
Devi infatti considerare la probabilità di una specifica terna 5-13-15
$1/8*1/7*1/6$
moltiplicare tale probabilità per tutte le terne possibili con i numeri 5-13-15, ovvero $3!$
e moltiplicare il tutto per la probabilità di estrarre per 3 volte di seguito dall'urna 2 (quella con le palle dispari), ovvero $(1/2)^3$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo