Estrazione senza restituzione da urna

[marco.ceccarelli]

Buonasera, ho difficoltà con quest'esercizio:

Un'urna contiene 2 palline, di cui $b$ bianche, avendosi $P(H_0)=1/2, P(H_1)=P(H_2)=1/4$, essendo $H_b=text(nell'urna ci sono b palline bianche)$ (b=0,1,2). Il contenuto di una 2° urna, identico a quello della 1°, viene riversato in quest'ultima. Successivamente vengono estratte (senza restituzione) 2 palline dalla 1° urna e se ne ottengono 2 nere. Calcolare la probabilità p che le 2 palline rimaste nell'urna siano entrambe nere.

La soluzione è $12/13$, e viene consigliato di usare il th. Bayes (anche se magari vi sono altri modi equivalenti, è uguale). Io:

1° urna: $P(b=0)=1/2, P(b=1)=P(b=2)=1/4$

2° urna: $P(b=0)=1/2, P(b=1)=P(b=2)=1/4$ (idem)

1° urna + 2° urna = urna totale: $P(b=0)=P(b=1)=1/4, P(b=2)=5/16, P(b=3)=1/8, P(b=4)=1/16$

$P(b=0|b=0 uu b=1 uu b=2)=(P(b=0))/(P(b=0)+P(b=1)+P(b=2))$, ma non va.

Qualche idea? Grazie.

[valeporpo]

Hai scritto che il contenuto della seconda urna è identico a quello della prima. Come puoi avere, nell'urna totale, $ P(b=1)>0 $ e $ P(b=3)>0 $ ?
Sicuro che la soluzione sia 12/13 e che le due urne siano identiche?

[marco.ceccarelli]

Grazie per la risposta.

Il testo e la soluzione li ho riportati così come sono scritti. Riguardo i calcoli, ho verificato che $sumP(b=i)=1, i=0,...,4$, e mi sembrava plausibile, ma non mi esce.

[@melia]

Se le due urne sono uguali, quando le metti insieme puoi avere solo i seguenti eventi:
$E_1 = {n, n, n, n}$ con probabilità $1/2$
$E_2={b, b, n, n}$ con probabilità $1/4$ e
$E_3={b, b, b, b}$ con probabilità $1/4$

Estrarre 2 palline nere ha probabilità 1 se sei in $E_1$, $1/6$ in $E_2$ e 0 in $E_3$, in tutto la probabilità di estrarre 2 palline nere è $1*1/2+1/6*1/4 +1/6*0=13/24$.
La probabilità che le due palline rimanenti siano nere è 1 se sei in $E_1$, 0 in $E_2$ e in $E_3$, in tutto la probailità è $1*1/2+0*1/4+0*1/4=1/2$

$P= (1/2)/(13/24)=1/2*24/13=12/13$

[marco.ceccarelli]

OK, grazie.