Estrazione palline da un'urna
Ciao a tutti, ho da poco iniziato a studiare statistica e avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
Un'urna contiene a palline bianche (B) e b palline nere (N). Si estrae una pallina ; se è B si reinserisce nell'urna, se è N la si sostituisce con una B. Qual è la probabilità di estrarre B dopo aver ripetuto lo schema due volte?
Allora io ho chiamato B1 l'evento che corrisponde all'estrazione di una pallina bianca alla prima estrazione e B2 alla seconda estrazione...analogamente per N1 e N2
Ora ho
$ P(B1)= a/(a+b) $ e $ P(N1)= b/(a+b) $
Ora se non sbaglio dovrei calcolare le due probabilità condizionate
$ P(B2 \ N1) $ e $ P(B2 \ B1) $
solo che ho qualche problema a calcolarle...il ragionamento è corretto? se sì come faccio a calcolarle?
Grazie mille in anticipo!!
Un'urna contiene a palline bianche (B) e b palline nere (N). Si estrae una pallina ; se è B si reinserisce nell'urna, se è N la si sostituisce con una B. Qual è la probabilità di estrarre B dopo aver ripetuto lo schema due volte?
Allora io ho chiamato B1 l'evento che corrisponde all'estrazione di una pallina bianca alla prima estrazione e B2 alla seconda estrazione...analogamente per N1 e N2
Ora ho
$ P(B1)= a/(a+b) $ e $ P(N1)= b/(a+b) $
Ora se non sbaglio dovrei calcolare le due probabilità condizionate
$ P(B2 \ N1) $ e $ P(B2 \ B1) $
solo che ho qualche problema a calcolarle...il ragionamento è corretto? se sì come faccio a calcolarle?
Grazie mille in anticipo!!
Risposte
Dove hai preso l'esercizio? Studi a Torino?
Sì, studio a Torino...l'ho preso dal sito di matematica...
Mi sembrava di averlo già sentito.
E per caso sai anche come si fa?
Mi ci metto e tra un attimo ti dico.
Grazie mille!!
Eccomi. Allora cominciamo con il dare il nome agli eventi:
$B1$ se la prima estrazione è bianca
$N1$ se la prima estrazione è nera
$B2$ se la seconda estrazione è bianca
$N2$ se la seconda estrazione è nera
Ci interessa calcolare $P(B3)$.
Utilizzando la formula della partizione dell'evento certo viene così:
$P(B3)=P(B3|B2nnB1)P(B2nnB1)+P(B3|N2nnB1)P(N2nnB1)+P(B3|B2nnN1)P(B2nnN1)+P(B3|N2nnN1)P(N2nnN1)$
Chiamo per comodità $a+b=n$ e calcolo le probabilità che mi servono:
$P(B3|B2nnB1)=a/n$
$P(B2nnB1)=P(B2|B1)P(B1)=a^2/n^2$
$P(B3|N2nnB1)=(a+1)/n$
$P(N2nnB1)=P(N2|B1)P(B1)=b/n*a/n=(ab)/n^2$
$P(B3|B2nnN1)=(a+1)/n$
$P(B2nnN1)=P(B2|N1)P(N1)=(a+1)/n*b/n=(b(a+1))/n^2$
$P(B3|N2nnN1)=(a+2)/n$
$P(N2nnN1)=P(N2|N1)P(N1)=(b-1)/n*b/n=(b(b-1))/n$
Quindi
$P(B3)=a/n*a^2/n^2+(a+1)/n*(ab)/n^2+(a+1)/n*(b(a+1))/n^2+(a+2)/n*(b(b-1))/n^2=\frac{a^3+a(a+1)b+(a+1)^2b+b(b-1)(a+2)}{n^3}$
Se ti sfugge qualcosa chiedi pure.
$B1$ se la prima estrazione è bianca
$N1$ se la prima estrazione è nera
$B2$ se la seconda estrazione è bianca
$N2$ se la seconda estrazione è nera
Ci interessa calcolare $P(B3)$.
Utilizzando la formula della partizione dell'evento certo viene così:
$P(B3)=P(B3|B2nnB1)P(B2nnB1)+P(B3|N2nnB1)P(N2nnB1)+P(B3|B2nnN1)P(B2nnN1)+P(B3|N2nnN1)P(N2nnN1)$
Chiamo per comodità $a+b=n$ e calcolo le probabilità che mi servono:
$P(B3|B2nnB1)=a/n$
$P(B2nnB1)=P(B2|B1)P(B1)=a^2/n^2$
$P(B3|N2nnB1)=(a+1)/n$
$P(N2nnB1)=P(N2|B1)P(B1)=b/n*a/n=(ab)/n^2$
$P(B3|B2nnN1)=(a+1)/n$
$P(B2nnN1)=P(B2|N1)P(N1)=(a+1)/n*b/n=(b(a+1))/n^2$
$P(B3|N2nnN1)=(a+2)/n$
$P(N2nnN1)=P(N2|N1)P(N1)=(b-1)/n*b/n=(b(b-1))/n$
Quindi
$P(B3)=a/n*a^2/n^2+(a+1)/n*(ab)/n^2+(a+1)/n*(b(a+1))/n^2+(a+2)/n*(b(b-1))/n^2=\frac{a^3+a(a+1)b+(a+1)^2b+b(b-1)(a+2)}{n^3}$
Se ti sfugge qualcosa chiedi pure.
grazie mille...macome si fa a calcolare le probabilità condizionate? ad esempio la prima che ti viene a/n come l'hai calcolata?
"AlyAly":
grazie mille...macome si fa a calcolare le probabilità condizionate? ad esempio la prima che ti viene a/n come l'hai calcolata?
Perché se alla prima e alla seconda estrazione è uscita una pallina bianca, alla terza i rapporti tra palline nell'urna sono uguali a quelli iniziali e quindi la probabilità di estrarre di nuovo una pallina bianca è sempre $a/(a+b)=a/n$
capito!Grazie mille!!!
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