Estrazione di palline

[tinex]

In un'urna ci sono tre palline nere e una gialla. Estraendone due, senza rimettere la prima estratta nell'urna, qual è la probabilità di ottenere
2 Palline nere
2 palline di colore diverso.
Dai una spiegazione dei risultati ottenuti.



Lo spiegherei così: dovendo estrarre due palline, nel caso di colori diversi, devo sommare i due evnti, cioè che si verifichi l'evento pallina nera e anche l'evento pallina gialla. Quando pesco la prima pallina la estraggo da un mucchio di 4, quando estraggo la seconda pallina il mucchio è divenuto di 3. Questo processo devo considerarlo due volte, perché può accadere tanto nel caso pallina nera quanto in quello pallina gialla. La rapprentazione grafica mi dà ragione del risultato $ 6/12 $

E' nel caso caso di due palline nere che non mi tornano i conti. La mia riflessione è ancora la stessa: Quando pesco la prima pallina la estraggo da un mucchio di 4, quando estraggo la seconda pallina il mucchio è divenuto di 3. Il risultato è $ 3/12 $, ma la rappresentazione grafica mi riporta 6 casi di 2 palline nere. Come lo giustifico?

Ho il sospetto che il mio ragionamento abbia qualche falla, potete aiutarmi per favore?

[@melia]

Hai sbagliato quando alla seconda estrazione di pallina nera hai assegnato probabilità $1/3$, mentre avresti dovuto assegnare $2/3$

[tinex]

Perché mai? Di palline gialle ce n'è solo una.

[@melia]

Ripeto: seconda estrazione di pallina NERA.
Prima estrazione, viene nera in 3 casi su 4, quindi $P_1(n)=3/4$
Seconda estrazione, sapendo che la prima ha dato pallina nera, viene nera in 2 casi su 3, quindi $P_2(n)=2/3$,
quindi $P(n,n)=3/4*2/3=1/2$.
Nella tabella che hai allegato alla seconda estrazione di pallina NERA hai assegnato $1/3$ e non $2/3$ come sarebbe corretto.

[tinex]

Però se faccio i calcoli con i coefficenti binomiali il risultato è ancora di $ 3/12 $

Casi possibili 12, casi favorevoli $ ( (3), (2) ) = 3! $ $ /2! $ (3-2)! = 3

Questo mi confonde

[superpippone]

I conti non ti tornano perchè per i casi possibili (12) usi le disposizioni, mentre per i casi favorevoli (3) usi le combinazioni.
Se tu usassi in entrambi i casi le combinazioni avresti $3/6=1/2$.
Se invece usassi in entrambi i casi le disposizioni avresti $6/12=1/2$
Oppure $3/4*2/3=6/12=1/2$
Oppure ancora, visto che le palline o sono di colore diverso, o sono dello stesso colore: $1-6/12=6/12=1/2$
Come vedi il risultato non cambia....