Estrazione da un'urna, domanda più sciocca possibile
Ciao a tutti, ho bisogno di un aiuto.
In realtà mi vergogno un po' a scrivere qui perché il mio dubbio è davvero sciocco e mi è sorto inferfacciandomi per la prima volta ad uno studio delle probabilità molto sempliciotto. Vogliate scusarmi per il mio poco formalismo ma è un corso di laboratorio e quindi in realtà è tutto fuorché matematica e purtroppo solo un accenno per introdurre studi statistici applicati. So che da matematici odieretequesto
.
Detto ciò il mio dubbio è il seguente: immaginavo di avere un'urna, la più semplice possibile per afferare il concetto dove all'interno vi siano due palline A e B.
La probabilità associata all'estrazione di -mettiamo- di A è pari a $1/2$.
Per calcolare l'estrazione di 3 volte A usando la probabilità composta concluderei che AAA ha la probabilità di $1/8$. La cosa "bella" è che la probabilità non ha memoria e infatti è chiarissimo che dopo due estrazioni di A a cui associo prob=1/4 avrò una ulteriore 1/2 per una terza estrazione $1/4*1/2$.
Fin qui chiarissimo, ma ora nasce il dubbio:
A priori se mi chiedessi se è più probabile una estrazione di tre A anziché due A direi che è più probabile l'estrazione di due volte A rispetto a tre volte A.
Dunque se alla seconda estrazione avessi una configurazione di AA mi accorgo che se estraessi nuovamente A avrei 1/8 mentre se mantenessi due A avrei 1/4. Insomma la terza estrazione sarebbe decisiva per scegliere se portarmi da una configurazione di probabilità 1/4 ad una maggiore di 1/8 e verrebbe da dire che è meno probabile riestrarre proprio A.
Assurdo
EDITO
Forse ho capito l'errore ma spero abbiate voglia di correggermi se sbaglio.. il fatto è che L'estrazione di due A ad esempio AAB ha probabilità 1/8 esattamente come AAA (infatti anche B ha probabilità di 1/2 di uscita), in pratica sbagliavo a considerare due volte A (in tre estrazioni) come 1/4. Insomma, non sto incrementando nessuna probabilità: AAB e AAA sono equiprobabili
In realtà mi vergogno un po' a scrivere qui perché il mio dubbio è davvero sciocco e mi è sorto inferfacciandomi per la prima volta ad uno studio delle probabilità molto sempliciotto. Vogliate scusarmi per il mio poco formalismo ma è un corso di laboratorio e quindi in realtà è tutto fuorché matematica e purtroppo solo un accenno per introdurre studi statistici applicati. So che da matematici odieretequesto
.Detto ciò il mio dubbio è il seguente: immaginavo di avere un'urna, la più semplice possibile per afferare il concetto dove all'interno vi siano due palline A e B.
La probabilità associata all'estrazione di -mettiamo- di A è pari a $1/2$.
Per calcolare l'estrazione di 3 volte A usando la probabilità composta concluderei che AAA ha la probabilità di $1/8$. La cosa "bella" è che la probabilità non ha memoria e infatti è chiarissimo che dopo due estrazioni di A a cui associo prob=1/4 avrò una ulteriore 1/2 per una terza estrazione $1/4*1/2$.
Fin qui chiarissimo, ma ora nasce il dubbio:
A priori se mi chiedessi se è più probabile una estrazione di tre A anziché due A direi che è più probabile l'estrazione di due volte A rispetto a tre volte A.
Dunque se alla seconda estrazione avessi una configurazione di AA mi accorgo che se estraessi nuovamente A avrei 1/8 mentre se mantenessi due A avrei 1/4. Insomma la terza estrazione sarebbe decisiva per scegliere se portarmi da una configurazione di probabilità 1/4 ad una maggiore di 1/8 e verrebbe da dire che è meno probabile riestrarre proprio A.
Assurdo
EDITO
Forse ho capito l'errore ma spero abbiate voglia di correggermi se sbaglio.. il fatto è che L'estrazione di due A ad esempio AAB ha probabilità 1/8 esattamente come AAA (infatti anche B ha probabilità di 1/2 di uscita), in pratica sbagliavo a considerare due volte A (in tre estrazioni) come 1/4. Insomma, non sto incrementando nessuna probabilità: AAB e AAA sono equiprobabili
Risposte
ripeto il problema per essere sicuro di aver capito: abbiamo un'urna contenente due palline: una A ed una B. ci chiediamo:
1. la probabilità di estrarre 2 palline A
2. la probabilità di estrarre 3 palline A
3. quale delle due è maggiore?
aggiungo io: in 3 estrazioni. non credo cambi il concetto ma è giusto per fissare le idee
c'è una distinzione fondamentale da fare: siamo con o senza reimmissione?
nel secondo caso, la probabilità cercata sia in 1. che in 2. è nulla. dunque nessuna delle due è maggiore.
nel primo caso invece, notando che gli eventi sono ora indipendenti:
1. $P(\text{2 A})=P(A_1 nn A_2 nn B_3)+P(A_1 nn B_2 nn A_3)+P(B_1 nn A_2 nn A_3)=3P(A_1 nn A_2 nn B_3)=3/8$
2. $P(A_1 nn A_2 nn A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)=1/8$
quindi è più probabile estrarre due A invece che 3.
1. la probabilità di estrarre 2 palline A
2. la probabilità di estrarre 3 palline A
3. quale delle due è maggiore?
aggiungo io: in 3 estrazioni. non credo cambi il concetto ma è giusto per fissare le idee
c'è una distinzione fondamentale da fare: siamo con o senza reimmissione?
nel secondo caso, la probabilità cercata sia in 1. che in 2. è nulla. dunque nessuna delle due è maggiore.
nel primo caso invece, notando che gli eventi sono ora indipendenti:
1. $P(\text{2 A})=P(A_1 nn A_2 nn B_3)+P(A_1 nn B_2 nn A_3)+P(B_1 nn A_2 nn A_3)=3P(A_1 nn A_2 nn B_3)=3/8$
2. $P(A_1 nn A_2 nn A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)=1/8$
quindi è più probabile estrarre due A invece che 3.
Il mio dubbio si incentrava su una intuizione sbagliata (che so essere sbagliata) che non è vero che la probabilità di n estrazioni consecutive (con reimmissione giustamente) cambi la probabilità della n+1esima.
Il punto è che come dicevo intuitivamente mi veniva da pensare che se estraessi 2volte A allora ci sarebbe meno probabilità di estrarre una terza A e fosse più probabile avere 2A.
(cioè mi sembrava di passare da 1/4->1/8 se passavo da AA->AAA, mentre mi sembrava di passare da 1/4->1/4se fossi passato da AA ad AAB)
Forse l'errore soggiaceva nel fatto che AAA in realtà ha pari probabilità di AAB e quindi passando dalla n-esmia (nel nostro caso 2) alla n+1esima (nel caso in esame 3) non faccio passare la probabilità da 1/4 (quella di due A) a 1/8 (quella di 3 A) perché in realtà anche AAB ha 1/8
Non so se fosse più chiaro il dubbio, spero altrimenti ci riprovo e scusami
Il punto è che come dicevo intuitivamente mi veniva da pensare che se estraessi 2volte A allora ci sarebbe meno probabilità di estrarre una terza A e fosse più probabile avere 2A.
(cioè mi sembrava di passare da 1/4->1/8 se passavo da AA->AAA, mentre mi sembrava di passare da 1/4->1/4se fossi passato da AA ad AAB)
Forse l'errore soggiaceva nel fatto che AAA in realtà ha pari probabilità di AAB e quindi passando dalla n-esmia (nel nostro caso 2) alla n+1esima (nel caso in esame 3) non faccio passare la probabilità da 1/4 (quella di due A) a 1/8 (quella di 3 A) perché in realtà anche AAB ha 1/8
Non so se fosse più chiaro il dubbio, spero altrimenti ci riprovo e scusami
AAB non è l'unica terna possibile per estrarre due A: ci sono anche ABA e BAA. quindi l'evento "estraggo due A" è l'unione di questi tre eventi e quindi la probabilità è la loro somma.
nel caso invece di 3 A l'unica terna possibile è AAA e quindi la probabilità (essendo gli eventi indipendenti data la reimmissione) è data dal prodotto delle tre probabilità dunque $1/2*1/2*1/2$
questa frase non mi sembra avere senso: di cosa stai calcolando la probabilità? $P(AAB)$ potrebbe avere diverse interpretazioni: vuoi calcolare la probabilità di estrarre quelle palline in quella successione e quindi avere quella terna? vuoi due palline A? vuoi una sola B?
detta così interpretando con quello che vuoi fare, ciò che dici è sbagliato perchè la probabilità di avere 2 A non è solo data dall'esito AAB (quindi l'intersezione degli eventi estraggo A alla prima, estraggo A alla seconda, estraggo B alla terza).
nel caso invece di 3 A l'unica terna possibile è AAA e quindi la probabilità (essendo gli eventi indipendenti data la reimmissione) è data dal prodotto delle tre probabilità dunque $1/2*1/2*1/2$
"harperf":
Forse l'errore soggiaceva nel fatto che AAA in realtà ha pari probabilità di AAB
questa frase non mi sembra avere senso: di cosa stai calcolando la probabilità? $P(AAB)$ potrebbe avere diverse interpretazioni: vuoi calcolare la probabilità di estrarre quelle palline in quella successione e quindi avere quella terna? vuoi due palline A? vuoi una sola B?
detta così interpretando con quello che vuoi fare, ciò che dici è sbagliato perchè la probabilità di avere 2 A non è solo data dall'esito AAB (quindi l'intersezione degli eventi estraggo A alla prima, estraggo A alla seconda, estraggo B alla terza).
Sta cosa voglio proprio capirla, ti ringrazio per gli aiutoni.
In quel caso hai ragione (se considerassi ogni ordine possibile).
Diciamo che tutto il discorso fatto era per capire il motivo per cui dopo aver estratto due a: AA allora la terza estrazione ha medesima probabilità di uscita (l'annosa questione dei numeri ritardatari insomma) sia per A che per B (cioè un mezzo) questo vuol dire che dopo che ho estratto due A ho medesima probabilità di finire in una configurazione AAB o finire nel caso AAA.
Dopo la reimmissino infatti ogni pallina può essere estratta con probabilità di 1/2, ècome fossi sempre nel caso iniziale di estrazione.
Quel che mi aspetto è che io debba avere AAA con pari probabilità di AAB o ABB.
Se così non fosse, infatti, una volta estratti AA allora dovrei per forza concludere che estraendo un terzo valore mi farebbe finire in un caso più probabile o meno probabile rispetto all'altro, cioè darei ragione alla teoria-fuffa dei ritardatari.
E' anche vero che dopo aver estratto due A in effetti non potrò più avere il caso, ad esempio, ABA in terza estrazione, poiché la seconda posizione è già occupata da A, ergo la probabilità di avere AAB è identica di avere AAA.
Generalizzando ancora in reltà mi accorgo che ogni estrazione (fissa e non in qualunque ordine) ha probabilità 1/8
In altr parole se uno dicesse "sono usciti due A,ora gioco B perché è più probabile" non è vero,infatti sia AAA che AAB hanno probabilità 1/8 do uscire, così come BAA, BBA ecc.
In quel caso hai ragione (se considerassi ogni ordine possibile).
Diciamo che tutto il discorso fatto era per capire il motivo per cui dopo aver estratto due a: AA allora la terza estrazione ha medesima probabilità di uscita (l'annosa questione dei numeri ritardatari insomma) sia per A che per B (cioè un mezzo) questo vuol dire che dopo che ho estratto due A ho medesima probabilità di finire in una configurazione AAB o finire nel caso AAA.
Dopo la reimmissino infatti ogni pallina può essere estratta con probabilità di 1/2, ècome fossi sempre nel caso iniziale di estrazione.
Quel che mi aspetto è che io debba avere AAA con pari probabilità di AAB o ABB.
Se così non fosse, infatti, una volta estratti AA allora dovrei per forza concludere che estraendo un terzo valore mi farebbe finire in un caso più probabile o meno probabile rispetto all'altro, cioè darei ragione alla teoria-fuffa dei ritardatari.
E' anche vero che dopo aver estratto due A in effetti non potrò più avere il caso, ad esempio, ABA in terza estrazione, poiché la seconda posizione è già occupata da A, ergo la probabilità di avere AAB è identica di avere AAA.
Generalizzando ancora in reltà mi accorgo che ogni estrazione (fissa e non in qualunque ordine) ha probabilità 1/8
In altr parole se uno dicesse "sono usciti due A,ora gioco B perché è più probabile" non è vero,infatti sia AAA che AAB hanno probabilità 1/8 do uscire, così come BAA, BBA ecc.
invece che considerare AAA, ecc considera invece $A_i,B_i$, ovvero ho estratto A,B all'estrazione $i$. in questi termini gli eventi $A_1A_2A_3 ^^ A_1A_2B_3$ (e cioè "estraggo A sia alla prima che alla seconda che alla terza estrazione" e l'evento "estraggo A alla prima ed alla seconda estrazione ed estraggo B alla terza") hanno sì la stessa probabilità perchè come tu dici rimettendo nell'urna la pallina la probabilità di estrarre è sempre la stessa ad ogni estrazione (che in termini "tecnici" si traduce nel fatto che gli eventi $A_i,B_i$ sono indipendenti). andando a calcolare la probabilità di quei due eventi ci accorgiamo infatti che sono effettivamente uguali (gli eventi in esame in termini insiemistici sono delle intersezioni e poichè gli eventi sono indipendenti le probabilità sono date dal prodotto sei singoli insiemi).
questo è corretto
anche questo è corretto, ma converrai con me che ha ben poco senso domandarsi di confrontare la probabilità di $A_1A_2A_3$ e di $A_1A_2B_3$? sarebbe come domandarsi di calcolare la probabilità di avere un esito a caso. tanto la probabilità è la stessa per tutti. ha più senso chiedersi la probabilità di estrarre un numero $n<=3$ di palline A oppure B in tre estrazioni, in quanto gli eventi sono unioni ed intersezioni di quelle terne che abbiamo scritto fino ad ora e che vanno a modificare la probabilità di $1/8$.
"harperf":
Generalizzando ancora in reltà mi accorgo che ogni estrazione (fissa e non in qualunque ordine) ha probabilità 1/8
questo è corretto
"harperf":
sia AAA che AAB hanno probabilità 1/8 do uscire, così come BAA, BBA ecc.
anche questo è corretto, ma converrai con me che ha ben poco senso domandarsi di confrontare la probabilità di $A_1A_2A_3$ e di $A_1A_2B_3$? sarebbe come domandarsi di calcolare la probabilità di avere un esito a caso. tanto la probabilità è la stessa per tutti. ha più senso chiedersi la probabilità di estrarre un numero $n<=3$ di palline A oppure B in tre estrazioni, in quanto gli eventi sono unioni ed intersezioni di quelle terne che abbiamo scritto fino ad ora e che vanno a modificare la probabilità di $1/8$.
Certamente come dici tu ha molto più senso! Eccome!!
Tuttavia stavo solo cercando di giustificare il perché al mio intuito sbagliassi (come molti giocatori fanno) a pensare che se A è uscito due volte allora la terza è più probabile un B.
Insomma era solo un mio esercizio da bar più che uno utile nel campo di studi, tuttavia volevo razionalizzarlo a dovere.
SIccome penso anche tu abbia studiato fisica (data l'altra risposta,
) volevo chiederti se vi fosse un libro migliore del Cannelli (che accenna solo a questa parte essendo un libro di sperimentazioni) dove studiare queste cose.
Più che altro mi chiedo dove tu le abbia approfondite perché piacerebbe farlo anche a me, ma credo di cors del genere non ci siano specificatamente a fisica.
Tuttavia stavo solo cercando di giustificare il perché al mio intuito sbagliassi (come molti giocatori fanno) a pensare che se A è uscito due volte allora la terza è più probabile un B.
Insomma era solo un mio esercizio da bar più che uno utile nel campo di studi, tuttavia volevo razionalizzarlo a dovere.
SIccome penso anche tu abbia studiato fisica (data l'altra risposta,
) volevo chiederti se vi fosse un libro migliore del Cannelli (che accenna solo a questa parte essendo un libro di sperimentazioni) dove studiare queste cose.Più che altro mi chiedo dove tu le abbia approfondite perché piacerebbe farlo anche a me, ma credo di cors del genere non ci siano specificatamente a fisica.
"harperf":
Tuttavia stavo solo cercando di giustificare il perché al mio intuito sbagliassi (come molti giocatori fanno) a pensare che se A è uscito due volte allora la terza è più probabile un B.
Insomma era solo un mio esercizio da bar più che uno utile nel campo di studi, tuttavia volevo razionalizzarlo a dovere.
mi servirebbe un esempio perchè potrebbe anche essere che non si abbia la reimmissione e quindi togliendo sempre più A ovviamente diminuiscono le probabilità di averla alla terza volta.
"harperf":
SIccome penso anche tu abbia studiato fisica
yep!
"harperf":
olevo chiederti se vi fosse un libro migliore del Cannelli (che accenna solo a questa parte essendo un libro di sperimentazioni) dove studiare queste cose.
Più che altro mi chiedo dove tu le abbia approfondite perché piacerebbe farlo anche a me, ma credo di cors del genere non ci siano specificatamente a fisica.
il cannelli è un libro adatto in particolar modo a quello che si fa in un laboratorio ed è adatto a persone che non conoscono la probabilità ma NON è un bel libro! è molto sintetico ed euristico (poco rigoroso). serve ad introdurre i 3 concetti di probabilità che servono per saper fare le 4 cose di statistica dei laboratori dei primi anni di fisica
ma non insegna nulla di probabilità.come hai giustamente pensato, ho imparato la probabilità al corso di calcolo delle probabilità del CdL di matematica. a fisica si studia un decimo della vera probabilità, che è un vero peccato perchè in alcune branche della fisica sapere statistica e probabilità avanzate è molto utile.
se volessi approfondire la probabilità, dipende molto dall'approccio che vuoi dare alla cosa. il libro più adatto secondo me è "introduzione alla statistica di mood-graybill-boes". è molto chiaro e completo (manca però di alcuni argomenti chiave di probabiltà che però potresti integrare con altro materiale): nella prima parte fa una bella introduzione di probabilità e poi spiega la statistica. ho sentito parlare bene anche dello sheldon ross che però non conosco.
se invece vuoi una visione più matematica incentrata su teoria della misura, l'unico libro che conosco, sul quale peraltro ho studiato, è il protter "probability essentials". ti serve però una discreta conoscenza di teoria della misura
[ot]Continuo sul piccolo OT, poi prometto che smetto , ma dato che mi interessa molto ci provo: mera curiosità, dicevi di aver seguito il corso del cdl di matematica, questo perché hai sfruttato i crediti liberi (se non sbaglio ne esistono 12 che si possono fare) potrei quindi inserire statistica e probabilità? Son cose che mi incuriosiscono molto! Al momento dovrei compilare il "piano carriera" e vorrei capirci qualcosa infatti.[/ot]
, ma dato che mi interessa molto ci provo: mera curiosità, dicevi di aver seguito il corso del cdl di matematica, questo perché hai sfruttato i crediti liberi (se non sbaglio ne esistono 12 che si possono fare) potrei quindi inserire statistica e probabilità? Son cose che mi incuriosiscono molto! Al momento dovrei compilare il "piano carriera" e vorrei capirci qualcosa infatti.[/ot]
[ot]esatto, ho usato i crediti liberi per seguire il corso a matematica. nei crediti liberi tu puoi inserire qualsiasi corso tu voglia purchè in linea col percorso di studi (quindi puoi inserire esami di matematica/scienze della terra/ecc ma non esami di letteratura inglese per intenderci ). se avessi dubbi riguardo la possibilità di inserire un esame comunque potresti scrivere al responsabile che ti saprà dire in linea di massima se ha speranza di essere accettato dalla commissione o meno. se non ricordo male però mi avevano detto che esami di matematica non sono mai osteggiati[/ot]
). se avessi dubbi riguardo la possibilità di inserire un esame comunque potresti scrivere al responsabile che ti saprà dire in linea di massima se ha speranza di essere accettato dalla commissione o meno. se non ricordo male però mi avevano detto che esami di matematica non sono mai osteggiati[/ot]
Grazie per il suggerimento che seguirò, è stato un dialogo istruttivo:)
Purtroppo ho visto che nel rimodulare il messaggio han cancellato la risposta a:
In realtà, come scrivevo, il senso di tutto il discorso era che volevo capire perché non fosse valida la regola dei "numeri ritardatari" e mi ero creato in mente l'esempio con sole due palline e dopo 3 estrazioni e con continua reimmissione.
Intuitivamente mi sarebbe venuto da dire, come fanno i giocatori, che dopo due A avere una terza A era meno facile di trovare una B, e l'errore soggiaceva nel fatto che cnsideravo la probabilità due volte A senza considerare che anche B ha 1/2,dunque la tripletta AAB ha probabilità 1/8 (senza scambi di ordine) che è esattamente la probabilità tripletta di sole A.
Il che mi mostra, con un esempio intuitivo, quello a cui volevo arrivare.
Purtroppo ho visto che nel rimodulare il messaggio han cancellato la risposta a:
"cooper":[/quote]
mi servirebbe un esempio perchè potrebbe anche essere che non si abbia la reimmissione e quindi togliendo sempre più A ovviamente diminuiscono le probabilità di averla alla terza volta.
[quote="harperf"]SIccome penso anche tu abbia studiato fisica
In realtà, come scrivevo, il senso di tutto il discorso era che volevo capire perché non fosse valida la regola dei "numeri ritardatari" e mi ero creato in mente l'esempio con sole due palline e dopo 3 estrazioni e con continua reimmissione.
Intuitivamente mi sarebbe venuto da dire, come fanno i giocatori, che dopo due A avere una terza A era meno facile di trovare una B, e l'errore soggiaceva nel fatto che cnsideravo la probabilità due volte A senza considerare che anche B ha 1/2,dunque la tripletta AAB ha probabilità 1/8 (senza scambi di ordine) che è esattamente la probabilità tripletta di sole A.
Il che mi mostra, con un esempio intuitivo, quello a cui volevo arrivare.
[ot]
sono stato io. Pensavo di avere eliminato solo una lunga, ingombrante ed inutile citazione, oltre ad aver messo "Off topic " ciò che andava messo. Se inavvertitamente ho cancellato qualche cosa di troppo mi scuso; lo puoi sempre riscrivere, magari evitando di citare per intero e con diverse nidificazioni un messaggio già lungo di suo[/ot]
"harperf":
Purtroppo ho visto che nel rimodulare il messaggio han cancellato la risposta a....
sono stato io. Pensavo di avere eliminato solo una lunga, ingombrante ed inutile citazione, oltre ad aver messo "Off topic " ciò che andava messo. Se inavvertitamente ho cancellato qualche cosa di troppo mi scuso; lo puoi sempre riscrivere, magari evitando di citare per intero e con diverse nidificazioni un messaggio già lungo di suo[/ot]
[ot]@tommik: figurati! Non ero per nulla critico. Anzi, grazie di esser stato dietro a correggere il messaggio e scusa piuttosto per il post incasinato .[/ot]
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