Estrazione con reimmissione senza ordine
Dovendo calcolare la probabilità di estrarre 3 palline rosse e 2 nere, con reimmissione e senza che l'ordine abbia importanza, da un'urna in cui si trovano 5 palline rosse e 7 palline nere, so che un procedimento standard è quello di considerare la cosa come prove di Bernoulli, per cui se il rosso è successo avrò p=5/12, n=5, k=3
\(P(E) = {5 \choose 3}(\frac{5}{12})^3(\frac{7}{12})^2 \)
Però vorrei capire come calcolare la stessa cosa nel modo classico, cioè calcolando \( |E| \) e \(|\Omega| \) e facendo il rapporto. Se l'ordine fosse rilevante, allora potrei considerare le disposizioni con ripetizioni, e risulterebbe \(|\Omega| = 12^3 \) e \(|E| = 5*5*5*7*7\).
Ma siccome l'ordine non conta, come dovrei calcolare \(|\Omega|\) per far sì che corrisponda al numero di possibili terne con ripetizione e senza ordine?
Mi verrebbe da usare le combinazioni con ripetizione:
\(|\Omega| = {12+5-1 \choose 5} \) e \(|E| = {5+3-1 \choose 3}{7+2-1 \choose 2} \)
ma non viene lo stesso risultato calcolato inizialmente
\(P(E) = {5 \choose 3}(\frac{5}{12})^3(\frac{7}{12})^2 \)
Però vorrei capire come calcolare la stessa cosa nel modo classico, cioè calcolando \( |E| \) e \(|\Omega| \) e facendo il rapporto. Se l'ordine fosse rilevante, allora potrei considerare le disposizioni con ripetizioni, e risulterebbe \(|\Omega| = 12^3 \) e \(|E| = 5*5*5*7*7\).
Ma siccome l'ordine non conta, come dovrei calcolare \(|\Omega|\) per far sì che corrisponda al numero di possibili terne con ripetizione e senza ordine?
Mi verrebbe da usare le combinazioni con ripetizione:
\(|\Omega| = {12+5-1 \choose 5} \) e \(|E| = {5+3-1 \choose 3}{7+2-1 \choose 2} \)
ma non viene lo stesso risultato calcolato inizialmente
Risposte
"alpha55":
\(|\Omega| = 12^3 \) e \(|E| = 5*5*5*7*7\).
Perchè $12^3$ ?
"Umby":
[quote="alpha55"]
\(|\Omega| = 12^3 \) e \(|E| = 5*5*5*7*7\).
Perchè alla $12^3$ ?[/quote]
Perchè ho 12 palline tra cui scegliere, ad ogni estrazione. Dopodichè per le prime tre scelte ne ho 5 che mi vanno bene (quelle rosse), per le ultime due ne ho 7 (quelle nere). Questo assumendo di calcolare la probabilità di (R,R,R,N,N).
"alpha55":
Perchè ho 12 palline tra cui scegliere, ad ogni estrazione. Dopodichè per le prime tre scelte ne ho 5 che mi vanno bene (quelle rosse), per le ultime due ne ho 7 (quelle nere). Questo assumendo di calcolare la probabilità di (R,R,R,N,N).
Bravissimo...
12 palline, 5 estrazioni.. no ?
Sono fuso, chiaramente é 12^5, ma questo comunque non risponde alla domanda originale.
La domanda originale:
non devi ridurre il totale delle possibilità (12^5)
ma devi,
"estendere" la combinazione correttamente calcolata [R,R,R,N,N], (5*5*5*7*7)
nella disposizione di [3R e 2N]
In quanti modi, puoi posizionare le 3R, nei 5 lanci ?
(o se preferisci, le 2N nei 5 lanci? ... stessa cosa !! )
[RRRNN] [RRNRN] ........ [NNRRR]
ovviamente in 10 modi: $((5),(3))$
$(10*5*5*5*7*7)/(12^5)$
non devi ridurre il totale delle possibilità (12^5)
ma devi,
"estendere" la combinazione correttamente calcolata [R,R,R,N,N], (5*5*5*7*7)
nella disposizione di [3R e 2N]
In quanti modi, puoi posizionare le 3R, nei 5 lanci ?
(o se preferisci, le 2N nei 5 lanci? ... stessa cosa !! )
[RRRNN] [RRNRN] ........ [NNRRR]
ovviamente in 10 modi: $((5),(3))$
$(10*5*5*5*7*7)/(12^5)$
Mi torna, grazie. Mi rimane però il dubbio: non c'è un modo per arrivare allo stesso risultato restringendo Omega? Cioè considerando Omega come lo spazio delle combinazioni con ripetizione?
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