Es.probabilità binomiale e normale
Ma Buongiorno 
oggi facciamo un esercizio misto...il risultato non sò se è corretto. Il testo presenta una soluzione leggermente diversa e non capisco l'utilità di alcuni passaggi. Di conseguenza vi faccio vedere come pensavo di risolverlo, e poi voi mi bacchettate se sbaglio...aiahhh sento già malino....
Supponete di selezionare dalla popolazione dei neonati del Messico un campione casuale di 40 bambini. La probabilità che un bambino di questa popolazione non più di 2500g è 0,15.
A)Per il campione di dimensioni 40, qual è la probabilità che al massimo 4bambini pesino non più di 2500g? Calcolare l'esatta probabilità.
B)Calcolare la stessa probabilità del punto (A) utilizzando l'approssimazione normale.
$n=40$ ; $p=0,15 $
A) al massimo di 4 (1-0,15=0,85)
$P(X<=4)=P(x=0)+P(x=1)+(x=2)+P(x=3)+P(x=4)= 0,2507$
$P(x=0)= ((40),(0))*0,15^0*(0,85)^40=1*1*0,0015=0,0015$
$P(x=1)= ((40),(1))*0,15^1*(0,85)^39=40*0,15*0,0017=0,0102$
$P(x=2)= ((40),(2))*0,15^2*(0,85)^38=780*0,022*0,0020=0,034$
$P(x=3)= ((40),(3))*0,15^3*(0,85)^37=9880*0,033*0,0024=0,078$
$P(x=4)= ((40),(4))*0,15^4*(0,85)^36=91390*0,0005*0,0028=0,127$
B) mi devo ricavare $\mu$ e $\sigma$
$\mu= n*p= 40*0,15=6$ e poi per $\sigma= \sqrt(n*p*(1-p))= \sqrt(6*0,85)= 2,25$
$Z= (4-6)/(2,25)=-0,88$
$P(X<=4)=P(Z<=- 0,88)=P(Z>0,88)=0,189$
e giusto?
oggi facciamo un esercizio misto...il risultato non sò se è corretto. Il testo presenta una soluzione leggermente diversa e non capisco l'utilità di alcuni passaggi. Di conseguenza vi faccio vedere come pensavo di risolverlo, e poi voi mi bacchettate se sbaglio...aiahhh sento già malino....Supponete di selezionare dalla popolazione dei neonati del Messico un campione casuale di 40 bambini. La probabilità che un bambino di questa popolazione non più di 2500g è 0,15.
A)Per il campione di dimensioni 40, qual è la probabilità che al massimo 4bambini pesino non più di 2500g? Calcolare l'esatta probabilità.
B)Calcolare la stessa probabilità del punto (A) utilizzando l'approssimazione normale.
$n=40$ ; $p=0,15 $
A) al massimo di 4 (1-0,15=0,85)
$P(X<=4)=P(x=0)+P(x=1)+(x=2)+P(x=3)+P(x=4)= 0,2507$
$P(x=0)= ((40),(0))*0,15^0*(0,85)^40=1*1*0,0015=0,0015$
$P(x=1)= ((40),(1))*0,15^1*(0,85)^39=40*0,15*0,0017=0,0102$
$P(x=2)= ((40),(2))*0,15^2*(0,85)^38=780*0,022*0,0020=0,034$
$P(x=3)= ((40),(3))*0,15^3*(0,85)^37=9880*0,033*0,0024=0,078$
$P(x=4)= ((40),(4))*0,15^4*(0,85)^36=91390*0,0005*0,0028=0,127$
B) mi devo ricavare $\mu$ e $\sigma$
$\mu= n*p= 40*0,15=6$ e poi per $\sigma= \sqrt(n*p*(1-p))= \sqrt(6*0,85)= 2,25$
$Z= (4-6)/(2,25)=-0,88$
$P(X<=4)=P(Z<=- 0,88)=P(Z>0,88)=0,189$
e giusto?
Risposte
Quasi giusto!
Il punto A va bene, a parte qualche approssimazione di troppo. Con R ottengo questi valori:
Sul punto B invece c'è qualcosa da dire.
Quando si approssima una variabile discreta (la binomiale) con una continua (la normale) occorre fare la cosiddetta "correzione di continuità".
Ti spiego. Supponi di volere calcolare $P(X=4)$ con la normale. Verrebbe zero, in quanto la normale ti dà probabilità diverse da zero solo se consideri degli intervalli. Quale intervallo corrisponderebbe a $X=4$ ? Dato che la nornale è continua e può assumere anche valori decimali, si può considerare l'intervallo $3.5<=X<=4.5$. Quindi $P(X=4)=P(3.5<=X<=4.5)$
Nel tuo caso $P(X<=4)$ della binomiale diventa $P(X<=4.5)$ della normale.
Se adesso rifai il conto dovrebbe uscire $\sim 0.253$, molto prossimo al $\sim 0.263$ esatto calcolato con la binomiale.
Il punto A va bene, a parte qualche approssimazione di troppo. Con R ottengo questi valori:
dbinom(0:4,40,0.15) [1] 0.001502301 0.010604479 0.036491885 0.081570096 0.133151186 pbinom(4,40,0.15) [1] 0.2633199
Sul punto B invece c'è qualcosa da dire.
Quando si approssima una variabile discreta (la binomiale) con una continua (la normale) occorre fare la cosiddetta "correzione di continuità".
Ti spiego. Supponi di volere calcolare $P(X=4)$ con la normale. Verrebbe zero, in quanto la normale ti dà probabilità diverse da zero solo se consideri degli intervalli. Quale intervallo corrisponderebbe a $X=4$ ? Dato che la nornale è continua e può assumere anche valori decimali, si può considerare l'intervallo $3.5<=X<=4.5$. Quindi $P(X=4)=P(3.5<=X<=4.5)$
Nel tuo caso $P(X<=4)$ della binomiale diventa $P(X<=4.5)$ della normale.
Se adesso rifai il conto dovrebbe uscire $\sim 0.253$, molto prossimo al $\sim 0.263$ esatto calcolato con la binomiale.
Oh mon diè!!!
Si tendo ad approssimare, perchè qui approssimano anche 0,765 con 0,77 io non l'avrei fato però!
cmq ho capito questa cosina!grazie grazie
Si tendo ad approssimare, perchè qui approssimano anche 0,765 con 0,77 io non l'avrei fato però!
cmq ho capito questa cosina!grazie grazie
Cenzo scusa mi son dimenticata un pezzo.
Quindi adesso dovrei calcolare $z$ nell'intervallo 3,5 e 4,5 ?
Quindi adesso dovrei calcolare $z$ nell'intervallo 3,5 e 4,5 ?
No, era solo per farti capire.
Come hai fatto prima andava bene, solo che devi calcolare $P(X<=4.5)$ invece di [tex]P(X\le4)[/tex].
Procedi come prima, standardizzazione, etc..
Ciao
Come hai fatto prima andava bene, solo che devi calcolare $P(X<=4.5)$ invece di [tex]P(X\le4)[/tex].
Procedi come prima, standardizzazione, etc..
Ciao
ah ok,
e perchè calcolo solo 4,5 e non 3,5 ?
$Z= (4,5- 6)/ \sqrt(5,1) = -0,664$ che corrisponde $0,255$
e perchè calcolo solo 4,5 e non 3,5 ?
$Z= (4,5- 6)/ \sqrt(5,1) = -0,664$ che corrisponde $0,255$
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