Esistenza del rumore bianco
Ciao a tutti.
Avrei un problema: devo dimostrare l'esistenza del rumore bianco
$(X_t)_{t>=0}$ con $EX_t=0$, $Cov(X_s,X_t)=0$ e $VarX_t=c >0$.
Cioè utilizzando il teorema di esistenza di Kolmogorov dovrei dimostrare che esiste un processo fatto in questo modo, ma se aggiungo la misurabilità delle traiettorie tale processo non esiste.
Non so da dove partire per utilizzare il teorema di Kolmogorov.
Mi sembra più semplice se parto utilizzando il teorema seguente:
Sia $(μ_k)$ una successione di misure di probabilità (di Borel) su $RR$. Allora
esiste uno spazio di probabilit`a $(\Omega, F, P)$ su cui esistono variabili aleatorie indipendenti
$(X_k)$ tali che la legge di $X_k$ è $μ_k$.
Ma come devo fare in pratica?
Grazie.
Avrei un problema: devo dimostrare l'esistenza del rumore bianco
$(X_t)_{t>=0}$ con $EX_t=0$, $Cov(X_s,X_t)=0$ e $VarX_t=c >0$.
Cioè utilizzando il teorema di esistenza di Kolmogorov dovrei dimostrare che esiste un processo fatto in questo modo, ma se aggiungo la misurabilità delle traiettorie tale processo non esiste.
Non so da dove partire per utilizzare il teorema di Kolmogorov.
Mi sembra più semplice se parto utilizzando il teorema seguente:
Sia $(μ_k)$ una successione di misure di probabilità (di Borel) su $RR$. Allora
esiste uno spazio di probabilit`a $(\Omega, F, P)$ su cui esistono variabili aleatorie indipendenti
$(X_k)$ tali che la legge di $X_k$ è $μ_k$.
Ma come devo fare in pratica?
Grazie.
Risposte
qual'è il teorema di Kolmogorov a cui ti riferisci?
Comuqnue il tuo problema è equivalente a mostrare che esiste un processo Gaussiano con $X_t$ indipendente da $X_s$ ed tutte le componenti hanno mdia e varianza fissata. Non so se ti può essere d'aiuto in qualche modo.
Comuqnue il tuo problema è equivalente a mostrare che esiste un processo Gaussiano con $X_t$ indipendente da $X_s$ ed tutte le componenti hanno mdia e varianza fissata. Non so se ti può essere d'aiuto in qualche modo.
Dovrei usare una conseguenza del teorema di Kolmogorov che è quel teorema che ho scritto.
Però non so da dove partire per dire che è vero che esiste un processo fatto così, cioè mi basta dire che è vero che esiste perchè visto che è un processo gaussiano con distribuzione nota allora per quel teorema che ho scritto esiste una famiglia di distribuzioni di probabilità tali che ogni $X_s$ del mio processo ha quella distribuzione?
Però non so da dove partire per dire che è vero che esiste un processo fatto così, cioè mi basta dire che è vero che esiste perchè visto che è un processo gaussiano con distribuzione nota allora per quel teorema che ho scritto esiste una famiglia di distribuzioni di probabilità tali che ogni $X_s$ del mio processo ha quella distribuzione?
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