[esercizio]v.a. discrete e continue
salve a tutti
la settimana prossima ho un esame di probabilità e volevo chiedere un vostro giudizio e consiglio riguardo due esercizi.
Il primo è il seguente(vorrei sapere se i calcoli e l'interpretazione sono giusti):
Quiz con 5 domande, ogni domanda ha 1 risposta giusta e 4 sbagliate. Uno studente sceglie a caso le risposte.
Calcolare(ho usato una variabile binomiale con n=5 e p=1/5):
1- la prob. che sbagli tutte le domande $(4/5)^5$
2- 4 domande giuste $((5),(4))*(1/5)^4*(4/5)$
3- calcolare il valore atteso del voto dello studente, qualora una risposta corretta vale 2 punti e una sbagliata -1 :
la variabile aleatoria V che indica il voto assume i valori: -5(tutte sbagliate), -2(1 giusta e 4 no), 1(2 giuste 3 no),
4(3giuste e 2 no), 7(4 giuste e 1 no), 10(tutte giuste)
quindi:
E(V) = $-5*(4/5)^5 -2((5),(1))*(1/5)*(4/5)^4 + ((5),(2))*(1/5)^2*(4/5)^3 + 4((5),(3))*(1/5)^3*(4/5)^2 + $
$ + 7*((5),(4))*(1/5)^4*(4/5) + 10*(1/5)^5$
4- sapendo che ha risposto a 4 domande, calcolare la prob. che abbia risposto correttamente alle prime quattro e sbagliato l'ultima:
$((1/5)^4*(4/5))/(((5),(4))*(1/5)^4*(4/5)) = 1/5$
5- sapendo che ha risposto a 4 domande, calcolare la prob. che abbia risposto correttamente alle prime 2:
$((1/5)^2*((3),(2))*(1/5)^2*(4/5))/(((5),(4))*(1/5)^4*(4/5)) = 3/5$
6- sapendo che ha risposto correttamente a due domande, calcolare la prob. che complessivamente abbia risposto correttamente a 4 domande:
$(((5),(4))*(1/5)^4*(4/5))/(1/5)^2 = 4/25$
Il secondo esercizio è il seguente:
si consideri il circuito dell'immagine sopra, assumendo che i tempi di rottura dei circuiti 1,2,3 siano descritti da v.a. esponenziali indipendeti con valore di attesa rispettivamente 1 anno, 2 anni e 3 anni. Si denoti con T il tempo di rottura del circuito(il circuito è rotto se un segnale non riesce a passare da A a B).
ho chiamato il componente 1 X, il 2 Y e il 3 Z
dai valori attesi ho ricavato i tre valori di $lambda$
$lambda_x= 1$ , $lambda_y = 1/2$ , $lambda_z = 1/3$
1- calcolare la prob. che il componente 1 si guasti dopo 6 mesi ma prima di 2 anni:
$ P(0,5<=X<=2) = P(X<=2) - P(X>=0,5) = 1- e^(-2) -e^(-0,5) = 0,26$
2- calcolare la prob. che il circuito non si rompa nei primi 6 mesi:
dato che i componentii 2 e 3 sono in parallelo, basta che uno funzioni per poter permettere il passaggio del segnale(con il componente 1 funzionante) quindi:
$P(T>=0,5) = P(X>=0,5)*(P(Y>=0,5)+P(Z>=0,5)) = e^(-0,5) *(e^(-0,25) + e^(-0,17)) = 0,98$
3-calcolare la densità di T
4-calcolare il valore atteso di T
qua il mio dubbio è : che intervallo di tempo devo considerare?
Cioè andando a intervalli di 6 mesi, fino a quanti anni dovrei considerare?
5- T perde memoria?
penso che si risolvi come per la geometrica, mostrando che
$P(T=x+h|T=x) = P(X=h)$
6- per verificare le assunzioni fatte, si acquistano 1000 prodotti e si osserva che 600 non si sono rotti nei primi 6 mesi. Fissando una soglia di confidenza del 5% ed utilizzando l'approssimazione gaussiana, stabilire se le assunzioni sono compatibili con l'osservazione(sufficiente ridurre il problema a una disuguaglianza numerica):
sto provando a farlo ora con il teorema del limite centrale. Più tardi vi chiedero conferma
la settimana prossima ho un esame di probabilità e volevo chiedere un vostro giudizio e consiglio riguardo due esercizi.
Il primo è il seguente(vorrei sapere se i calcoli e l'interpretazione sono giusti):
Quiz con 5 domande, ogni domanda ha 1 risposta giusta e 4 sbagliate. Uno studente sceglie a caso le risposte.
Calcolare(ho usato una variabile binomiale con n=5 e p=1/5):
1- la prob. che sbagli tutte le domande $(4/5)^5$
2- 4 domande giuste $((5),(4))*(1/5)^4*(4/5)$
3- calcolare il valore atteso del voto dello studente, qualora una risposta corretta vale 2 punti e una sbagliata -1 :
la variabile aleatoria V che indica il voto assume i valori: -5(tutte sbagliate), -2(1 giusta e 4 no), 1(2 giuste 3 no),
4(3giuste e 2 no), 7(4 giuste e 1 no), 10(tutte giuste)
quindi:
E(V) = $-5*(4/5)^5 -2((5),(1))*(1/5)*(4/5)^4 + ((5),(2))*(1/5)^2*(4/5)^3 + 4((5),(3))*(1/5)^3*(4/5)^2 + $
$ + 7*((5),(4))*(1/5)^4*(4/5) + 10*(1/5)^5$
4- sapendo che ha risposto a 4 domande, calcolare la prob. che abbia risposto correttamente alle prime quattro e sbagliato l'ultima:
$((1/5)^4*(4/5))/(((5),(4))*(1/5)^4*(4/5)) = 1/5$
5- sapendo che ha risposto a 4 domande, calcolare la prob. che abbia risposto correttamente alle prime 2:
$((1/5)^2*((3),(2))*(1/5)^2*(4/5))/(((5),(4))*(1/5)^4*(4/5)) = 3/5$
6- sapendo che ha risposto correttamente a due domande, calcolare la prob. che complessivamente abbia risposto correttamente a 4 domande:
$(((5),(4))*(1/5)^4*(4/5))/(1/5)^2 = 4/25$
Il secondo esercizio è il seguente:
si consideri il circuito dell'immagine sopra, assumendo che i tempi di rottura dei circuiti 1,2,3 siano descritti da v.a. esponenziali indipendeti con valore di attesa rispettivamente 1 anno, 2 anni e 3 anni. Si denoti con T il tempo di rottura del circuito(il circuito è rotto se un segnale non riesce a passare da A a B).
ho chiamato il componente 1 X, il 2 Y e il 3 Z
dai valori attesi ho ricavato i tre valori di $lambda$
$lambda_x= 1$ , $lambda_y = 1/2$ , $lambda_z = 1/3$
1- calcolare la prob. che il componente 1 si guasti dopo 6 mesi ma prima di 2 anni:
$ P(0,5<=X<=2) = P(X<=2) - P(X>=0,5) = 1- e^(-2) -e^(-0,5) = 0,26$
2- calcolare la prob. che il circuito non si rompa nei primi 6 mesi:
dato che i componentii 2 e 3 sono in parallelo, basta che uno funzioni per poter permettere il passaggio del segnale(con il componente 1 funzionante) quindi:
$P(T>=0,5) = P(X>=0,5)*(P(Y>=0,5)+P(Z>=0,5)) = e^(-0,5) *(e^(-0,25) + e^(-0,17)) = 0,98$
3-calcolare la densità di T
4-calcolare il valore atteso di T
qua il mio dubbio è : che intervallo di tempo devo considerare?
Cioè andando a intervalli di 6 mesi, fino a quanti anni dovrei considerare?
5- T perde memoria?
penso che si risolvi come per la geometrica, mostrando che
$P(T=x+h|T=x) = P(X=h)$
6- per verificare le assunzioni fatte, si acquistano 1000 prodotti e si osserva che 600 non si sono rotti nei primi 6 mesi. Fissando una soglia di confidenza del 5% ed utilizzando l'approssimazione gaussiana, stabilire se le assunzioni sono compatibili con l'osservazione(sufficiente ridurre il problema a una disuguaglianza numerica):
sto provando a farlo ora con il teorema del limite centrale. Più tardi vi chiedero conferma
Risposte
Il primo va bene; non ho capito come calcoli il punto 6.
Per il secondo hai che $1-F_T(t)=P(T>t)$ che ti trovi come hai fatto al punto 2. Da qua puoi trovare la media come $int_0^{infty} (1-F_T(t))dt$.
per l'assenza di memoria devi verificare $P(T>t+s|T>s)=P(T>t)$.
Nota inoltre che $T=min{X,max{Y,Z}}$.
Edit: al punto 2 del secondo ti sei dimenticato di sottrarre l'intersezione.
Per il secondo hai che $1-F_T(t)=P(T>t)$ che ti trovi come hai fatto al punto 2. Da qua puoi trovare la media come $int_0^{infty} (1-F_T(t))dt$.
per l'assenza di memoria devi verificare $P(T>t+s|T>s)=P(T>t)$.
Nota inoltre che $T=min{X,max{Y,Z}}$.
Edit: al punto 2 del secondo ti sei dimenticato di sottrarre l'intersezione.
"DajeForte":
Il primo va bene; non ho capito come calcoli il punto 6.
il numeratore è la prob. di rispondere esattamente a 4 domande.
il denomitaore quella di rispondere correttamente alle prime due
Per il secondo hai che $1-F_T(t)=P(T>t)$ che ti trovi come hai fatto al punto 2. Da qua puoi trovare la media come $int_0^{infty} (1-F_T(t))dt$.
se lo risolvo sviluppandolo con l'espressione del punto due ottengo
$\int_0^oo e^(-lambda_x*t)*e^(-lambda_y*t)dt$$+ \int_0^oo e^(-lambda_x*t)*e^(-lambda_z*t)dt$$-\int_0^oo e^(-lambda_x*t) *e^(-lambda_y*t)*e^(-lambda_z*t)dt$
e sinceramente dopo un anno che non li tocco, non mi ricordo come risolverlo
Edit: al punto 2 del secondo ti sei dimenticato di sottrarre l'intersezione.
grazie per la dritta. Mi dimentico sempre l'intersezione
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